Завдання № 74. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Розв’яжіть прямокутний трикутник $ABC$, у якого $\angle C=90^{\circ }$ (невідому сторону знайдіть із точністю до сотих сантиметра, кути — із точністю до градусів) за двома відомими сторонами:

1) $AB=6\text{ см}$, $AC=5\text{ см}$;

2) $AC=8\text{ см}$, $BC=3\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1) Випадок 1: $AB=6\text{ см}$, $AC=5\text{ см}$

У прямокутному трикутнику $ABC$ сторона $AB$ є гіпотенузою, а сторона $AC$ — катетом.

1) За теоремою Піфагора ($A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$) знайдемо невідомий катет $BC$:
$BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{6^2-5^2}=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}\approx 3,32\text{ см}$

2) Знайдемо гострий кут $A$ за означенням косинуса кута прямокутного трикутника:
$\cos \angle A=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{6}\approx 0,8333$
Звідси:
$\angle A\approx 34^{\circ }$

3) Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$, знайдемо кут $B$:
$\angle B=90^{\circ }-\angle A\approx 90^{\circ }-34^{\circ }=56^{\circ }$

2) Випадок 2: $AC=8\text{ см}$, $BC=3\text{ см}$

У прямокутному трикутнику $ABC$ сторони $AC$ та $BC$ є катетами.

1) За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу $AB$:
$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}\approx 8,54\text{ см}$

2) Знайдемо гострий кут $A$ за означенням тангенса кута прямокутного трикутника:
$\mathrm{tg}\angle A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{8}=0,375$
Звідси:
$\angle A\approx 21^{\circ }$

3) Знайдемо другий гострий кут $B$:
$\angle B=90^{\circ }-\angle A\approx 90^{\circ }-21^{\circ }=69^{\circ }$

Відповідь:

1) $BC\approx 3,32\text{ см}$, $\angle A\approx 34^{\circ }$, $\angle B\approx 56^{\circ }$;

2) $AB\approx 8,54\text{ см}$, $\angle A\approx 21^{\circ }$, $\angle B\approx 69^{\circ }$.