Завдання № 73. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Виразіть об’єм $V$ конуса через площу його бічної поверхні $S$ і відстань $r$ від центра основи до твірної.

Покроковий розв’язок:

1. Запис базових формул конуса
Нехай $R$ — радіус основи конуса, $H$ — його висота, а $L$ — довжина твірної.

Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H$

Площа бічної поверхні конуса дорівнює:
$S=\pi RL$

2. Зв’язок між геометричними елементами осьового перерізу
Розглянемо прямокутний трикутник, утворений висотою конуса $H$ (вертикальний катет), радіусом основи $R$ (горизонтальний катет) і твірною $L$ (гіпотенуза).

Відстань від центра основи $O$ до твірної — це довжина перпендикуляра, опущеного з вершини прямого кута на гіпотенузу $L$. За умовою вона дорівнює $r$.

Обчислимо площу цього прямокутного трикутника двома способами:

• через добуток катетів: $S_{△}=\frac{1}{2}R\cdot H$
• через добуток гіпотенузи та висоти, проведеної до неї: $S_{△}=\frac{1}{2}L\cdot r$

Прирівнюючи площі, маємо:
$\frac{1}{2}R\cdot H=\frac{1}{2}L\cdot r⟹R\cdot H=L\cdot r$

Звідси виразимо висоту конуса $H$:
$H=\frac{L\cdot r}{R}$

3. Вираження об’єму через $S$ та $r$
Підставимо отриманий вираз для $H$ у формулу об’єму конуса:
$V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot \frac{L\cdot r}{R}=\frac{1}{3}\pi RL\cdot r$

Оскільки площа бічної поверхні становить $S=\pi RL$, замінимо відповідний вираз на $S$:
$V=\frac{1}{3}Sr$

Відповідь:
$V=\frac{1}{3}Sr$