Завдання № 73. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Побудуйте чотирикутник, подібний даному чотирикутнику $A B C D$ , площа якого у $2, 25$ раза більша за площу даного.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження коефіцієнта подібності
За теоремою про площі подібних фігур, відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта їхньої подібності:

\frac{S ^{'}}{S} = k^{2}

За умовою $\frac{S ^{'}}{S} = 2, 25$ , отже, коефіцієнт подібності дорівнює:

k = 2, 25 = 1, 5 = \frac{3}{2}

Це означає, що всі відповідні лінійні розміри (сторони) нового чотирикутника $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ мають бути в $1, 5$ раза більшими за сторони чотирикутника $A B C D$ , а відповідні кути — зберегти свої значення:

∠ A^{'} = ∠ A, ∠ B^{'} = ∠ B, ∠ D^{'} = ∠ D

A^{'} B^{'} = 1, 5 \cdot A B, A^{'} D^{'} = 1, 5 \cdot A D

2. Побудова сторони $A^{'} B^{'}$ (відрізка, довжина якого дорівнює $1, 5 \cdot A B$ )

1) Проводимо довільний промінь із початком у точці $A^{'}$ .

2) За допомогою циркуля вимірюємо сторону $A B$ даного чотирикутника і відкладаємо відрізок $A^{'} M = A B$ .

3) Знаходимо середину відрізка $A^{'} M$ за допомогою циркуля і лінійки (будуємо дві дуги однакового радіуса із центрами в точках $A^{'}$ і $M$ , через точки їхнього перетину проводимо серединний перпендикуляр). Отримуємо половину сторони: $\frac{1}{2} \cdot A B$ .

4) Від точки $M$ на продовженні променя відкладаємо відрізок $M B^{'} = \frac{1}{2} \cdot A B$ .
Тоді довжина всього відрізка:

A^{'} B^{'} = A^{'} M + M B^{'} = A B + 0, 5 \cdot A B = 1, 5 \cdot A B

3. Побудова інших вершин чотирикутника $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$

1) Від променя $A^{'} B^{'}$ за допомогою циркуля і лінійки відкладаємо кут, рівний куту $A$ даного чотирикутника.

2) Аналогічним способом на новому промені відкладаємо відрізок $A^{'} D^{'} = 1, 5 \cdot A D$ . Отримуємо вершину $D^{'}$ .

3) Від променя $B^{'} A^{'}$ в ту саму півплощину, де розташована точка $D^{'}$ , відкладаємо кут, рівний $∠ B$ .

4) Від променя $D^{'} A^{'}$ в бік побудови відкладаємо кут, рівний $∠ D$ .

5) Промені сторін кутів $B^{'}$ і $D^{'}$ перетнуться в точці $C^{'}$ .

Чотирикутник $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ — шуканий.

Відповідь:
Побудовано чотирикутник $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} \sim A B C D$ із коефіцієнтом подібності $k = 1, 5$ . Його площа більша за площу даного чотирикутника в $k^{2} = 1, 5^{2} = 2, 25$ раза.

Завдання № 73. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку