Завдання № 73. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Використовуючи умову перпендикулярності двох прямих (результат задачі № 5.36: прямі $y=k_{1}x+b_1$ та $y=k_{2}x+b_2$ є перпендикулярними тоді й тільки тоді, коли $k_1\cdot k_2=-1$), складіть рівняння прямої, що проходить через точку $B(1;-1)$ перпендикулярно до прямої:

1) $2x-y+7=0$;

2) $MN$, де $M(0;2)$, $N(-2;4)$.

Покроковий розв’язок:

Згідно з умовою перпендикулярності невертикальних прямих, якщо пряма має кутовий коефіцієнт $k_1$, то будь-яка перпендикулярна до неї пряма має кутовий коефіцієнт $k$, що задовольняє рівність:
$k_1\cdot k=-1⟹k=-\frac{1}{k_1}$

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом $k$, яка проходить через точку $B(x_0;y_0)$, має вигляд:
$y-y_0=k(x-x_0)$

1. Складання рівняння для першого випадку

Задано рівняння прямої:
$2x-y+7=0$

Запишемо його у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом:
$y=2x+7$

Кутовий коефіцієнт даної прямої дорівнює $k_1=2$.

Знайдемо кутовий коефіцієнт $k$ шуканої прямої за умовою перпендикулярності:
$k=-\frac{1}{k_1}=-\frac{1}{2}$

Шукана пряма проходить через точку $B(1;-1)$. Підставимо координати точки $B$ та коефіцієнт $k$ у рівняння прямої:
$y-(-1)=-\frac{1}{2}(x-1)$
$y+1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

Помножимо обидві частини рівняння на $2$, щоб позбутися дробу:
$2(y+1)=-x+1$
$2y+2=-x+1$
$x+2y+1=0$

Отже, рівняння шуканої прямої: $x+2y+1=0$ (або $y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$).

2. Складання рівняння для другого випадку

Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої $MN$, яка проходить через точки $M(0;2)$ та $N(-2;4)$, за формулою:
$k_{MN}=\frac{y_N-y_M}{x_N-x_M}$
$k_{MN}=\frac{4-2}{-2-0}=\frac{2}{-2}=-1$

Знайдемо кутовий коефіцієнт $k$ прямої, перпендикулярної до прямої $MN$:
$k\cdot k_{MN}=-1⟹k\cdot (-1)=-1⟹k=1$

Шукана пряма проходить через точку $B(1;-1)$ і має кутовий коефіцієнт $k=1$. Складемо її рівняння:
$y-(-1)=1\cdot (x-1)$
$y+1=x-1$
$x-y-2=0$

Отже, рівняння шуканої прямої: $x-y-2=0$ (або $y=x-2$).

Відповідь:

1) $x+2y+1=0$ (або $y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$);

2) $x-y-2=0$ (або $y=x-2$).