Завдання № 73. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У прямокутному трикутнику $ABC$ кут $\angle C=90^{\circ }$. Знайдіть периметр трикутника $ABC$, якщо $AB=34\text{ см}$, $\mathrm{tg}A=\frac{8}{15}$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення співвідношення сторін через тангенс кута

За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника, тангенс дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета:
$\mathrm{tg}A=\frac{BC}{AC}$

За умовою $\mathrm{tg}A=\frac{8}{15}$, звідки:
$\frac{BC}{AC}=\frac{8}{15}$

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$ ($x>0$). Тоді довжини катетів можна записати як:
$BC=8x\text{ см},AC=15x\text{ см}$

2. Застосування теореми Піфагора

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника $ABC$:
$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$

Підставимо відомі значення сторін:
$34^2=(15x{)}^2+(8x{)}^2$
$1156=225x^2+64x^2$
$289x^2=1156$
$x^2=\frac{1156}{289}$
$x^2=4$

Оскільки довжина сторони є додатною величиною, маємо:
$x=2$

3. Обчислення довжин сторін трикутника

Знайдемо довжини катетів:
$BC=8\cdot 2=16\text{ см}$
$AC=15\cdot 2=30\text{ см}$

4. Обчислення периметра трикутника

Периметр трикутника дорівнює сумі довжин усіх його сторін:
$P_{△ABC}=AB+BC+AC$
$P_{△ABC}=34+16+30=80\text{ см}$

Відповідь:
$80\text{ см}$.