Завдання № 72. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Висота конуса дорівнює діаметру його основи. Знайдіть відношення площі його основи до площі бічної поверхні.

Покроковий розв’язок:

1. Вираження висоти конуса через радіус основи

Нехай $R$ — радіус основи конуса, $H$ — його висота, а $L$ — твірна конуса.

Оскільки діаметр основи дорівнює подвоєному радіусу ($d=2R$), а за умовою висота дорівнює діаметру, маємо:
$H=2R$

2. Знаходження твірної конуса

Висота конуса, радіус його основи та твірна утворюють прямокутний трикутник, у якому твірна є гіпотенузою, а висота та радіус — катетами.

За теоремою Піфагора:
$L=\sqrt{H^2+R^2}$

Підставимо вираз $H=2R$:
$L=\sqrt{(2R{)}^2+R^2}=\sqrt{4R^2+R^2}=\sqrt{5R^2}=R\sqrt{5}$

3. Обчислення площ та їхнього відношення

Площа основи конуса (площа круга радіуса $R$) обчислюється за формулою:
$S_{\text{осн}}=\pi R^2$

Площа бічної поверхні конуса дорівнює добутку числа $\pi$, радіуса основи та твірної:
$S_{\text{біч}}=\pi \cdot R\cdot L=\pi \cdot R\cdot R\sqrt{5}=\pi R^2\sqrt{5}$

Знайдемо відношення площі основи до площі бічної поверхні:
$\frac{S_{\text{осн}}}{S_{\text{біч}}}=\frac{\pi R^2}{\pi R^2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник дробу на $\sqrt{5}$:
$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Відповідь:
$\frac{\sqrt{5}}{5}$ (або $1:\sqrt{5}$).