Завдання № 72. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Медіана трикутника дорівнює $10\text{ см}$. Пряма, паралельна медіані, ділить трикутник на частини, площі яких відносяться як $1:7$. Знайдіть довжину відрізка цієї прямої, що міститься між сторонами трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай у трикутнику $△ABC$ проведено медіану $BK=10\text{ см}$ ($K$ — середина сторони $AC$).

Пряма, паралельна $BK$, перетинає сторону $AB$ у точці $M$, а сторону $AC$ — у точці $N$. Відрізок $MN$ лежить усередині трикутника, тому $MN\parallel BK$.

1. Властивість медіани трикутника

Медіана трикутника поділяє його на два рівновеликі трикутники, оскільки вони мають спільну висоту, проведену з вершини $B$, та рівні основи ($AK=KC$):
$S_{△ABK}=S_{△CBK}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$

2. Визначення площі відтятого трикутника

Пряма $MN$ розбиває $△ABC$ на трикутник $△AMN$ і чотирикутник $MBCN$. За умовою, відношення їхніх площ дорівнює:
$\frac{S_{△AMN}}{S_{MBCN}}=\frac{1}{7}$

Площа всього трикутника $△ABC$ складається із суми площ цих частин:
$S_{△ABC}=S_{△AMN}+S_{MBCN}=1+7=8\text{ частин}$

Отже, площа $△AMN$ становить:
$S_{△AMN}=\frac{1}{8}{S}_{△ABC}$

Знайдемо відношення площі $△AMN$ до площі $△ABK$:
$\frac{S_{△AMN}}{S_{△ABK}}=\frac{\frac{1}{8}{S}_{△ABC}}{\frac{1}{2}{S}_{△ABC}}=\frac{1}{8}\cdot \frac{2}{1}=\frac{1}{4}$

3. Подібність трикутників $△AMN$ і $△ABK$

Оскільки $MN\parallel BK$:

• $\angle AMN=\angle ABK$ (як відповідні кути при паралельних прямих $MN$ і $BK$ та січній $AB$);
• $\angle A$ — спільний для обох трикутників.

За двома кутами:
$△AMN\sim △ABK$

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності $k$:
$k^2=\frac{S_{△AMN}}{S_{△ABK}}=\frac{1}{4}⟹k=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

4. Обчислення довжини відрізка $MN$

Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню відповідних лінійних елементів:
$\frac{MN}{BK}=k=\frac{1}{2}$

Звідси знаходимо шуканий відрізок:
$MN=\frac{1}{2}\cdot BK=\frac{1}{2}\cdot 10=5\text{ см}$

Відповідь: $5\text{ см}$.