Завдання № 72. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Три вершини прямокутника містяться в точках $(0; 4)$ , $(8; 4)$ і $(8; - 2)$ . У яких точках коло $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$ перетинає сторони прямокутника?

Покроковий розв’язок:

1. Визначення вершин та сторін прямокутника

Нехай задані вершини прямокутника мають позначення:
$A (0; 4)$ , $B (8; 4)$ , $C (8; - 2)$ .

Оскільки сторони прямокутника попарно паралельні осям координат ( $A B$ паралельна осі абсцис, $B C$ паралельна осі ординат), координати четвертої вершини $D$ :
$D (0; - 2)$ .

Сторони прямокутника є відрізками відповідних прямих, обмеженими координатами:

сторона $A B$ : відрізок прямої $y = 4$ , де $0 ⩽ x ⩽ 8$ ;
сторона $C D$ : відрізок прямої $y = - 2$ , де $0 ⩽ x ⩽ 8$ ;
сторона $A D$ : відрізок прямої $x = 0$ , де $- 2 ⩽ y ⩽ 4$ ;
сторона $B C$ : відрізок прямої $x = 8$ , де $- 2 ⩽ y ⩽ 4$ .

2. Перетин кола зі стороною $A B$

Підставимо рівняння прямої $y = 4$ у рівняння кола $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$ :

(x - 3)^{2} + (4 - 1)^{2} = 25 (x - 3)^{2} + 3^{2} = 25 (x - 3)^{2} + 9 = 25 (x - 3)^{2} = 16

Звідси маємо:
$x - 3 = 4$ або $x - 3 = - 4$ ;
$x_{1} = 7$ , $x_{2} = - 1$ .

Перевіримо належність знайдених значень відрізку сторони $A B$ ( $0 ⩽ x ⩽ 8$ ):

значення $x = 7$ належить відрізку $[0; 8]$ , тому точка $(7; 4)$ є точкою перетину;
значення $x = - 1$ не належить відрізку $[0; 8]$ , тому точка $(- 1; 4)$ не належить стороні прямокутника.

3. Перетин кола зі стороною $C D$

Підставимо рівняння прямої $y = - 2$ у рівняння кола:

(x - 3)^{2} + (- 2 - 1)^{2} = 25 (x - 3)^{2} + (- 3)^{2} = 25 (x - 3)^{2} + 9 = 25 (x - 3)^{2} = 16

Звідси:
$x - 3 = 4$ або $x - 3 = - 4$ ;
$x_{1} = 7$ , $x_{2} = - 1$ .

Перевіримо умову $0 ⩽ x ⩽ 8$ :

значення $x = 7$ задовольняє умову, тому отримуємо точку перетину $(7; - 2)$ ;
значення $x = - 1$ не належить стороні.

4. Перетин кола зі стороною $A D$

Підставимо рівняння прямої $x = 0$ у рівняння кола:

(0 - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 25 9 + (y - 1)^{2} = 25 (y - 1)^{2} = 16

Звідси:
$y - 1 = 4$ або $y - 1 = - 4$ ;
$y_{1} = 5$ , $y_{2} = - 3$ .

Сторона $A D$ обмежена проміжком $- 2 ⩽ y ⩽ 4$ . Обидва знайдені значення $y = 5$ та $y = - 3$ виходять за межі цього відрізка, отже, коло не перетинає сторону $A D$ .

5. Перетин кола зі стороною $B C$

Підставимо рівняння прямої $x = 8$ у рівняння кола:

(8 - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 25 5^{2} + (y - 1)^{2} = 25 25 + (y - 1)^{2} = 25 (y - 1)^{2} = 0 y = 1

Значення $y = 1$ належить відрізку $[- 2; 4]$ , отже, пряма дотикається до кола в точці $(8; 1)$ , яка належить стороні $B C$ .

Таким чином, коло перетинає сторони прямокутника в трьох точках: $(7; 4)$ , $(7; - 2)$ та $(8; 1)$ .

Відповідь: $(7; 4)$ , $(7; - 2)$ , $(8; 1)$ .

Завдання № 72. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку