Завдання № 71. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Циліндр утворено обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін. Визначте об’єм $V$ циліндра через площу $S$ цього прямокутника і довжину $C$ кола, яке описує точка перетину його діагоналей.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричні параметри циліндра

Нехай прямокутник має сторони довжиною $a$ та $b$.

Припустимо, що обертання відбувається навколо сторони завдовжки $a$. Тоді утворене тіло обертання — прямий круговий циліндр, у якого:

• висота дорівнює стороні прямокутника, навколо якої відбувається обертання: $h=a$;
• радіус основи циліндра дорівнює сусідній стороні: $r=b$.

Площа даного прямокутника обчислюється за формулою:
$S=a\cdot b$

2. Траєкторія руху точки перетину діагоналей

Діагоналі прямокутника перетинаються в його геометричному центрі та діляться цією точкою навпіл.

Відстань від точки перетину діагоналей до осі обертання (сторони довжиною $a$) дорівнює половині перпендикулярної до неї сторони:
$R=\frac{b}{2}$

Під час обертання прямокутника ця точка описує коло радіуса $R$. Довжина цього кола становить:
$C=2\pi R=2\pi \cdot \frac{b}{2}=\pi \cdot b$

3. Визначення об’єму циліндра

Об’єм прямого кругового циліндра визначається за формулою:
$V=\pi \cdot r^2\cdot h=\pi \cdot b^2\cdot a$

Згрупуємо множники у виразі для об’єму:
$V=(\pi \cdot b)\cdot (a\cdot b)$

Оскільки $C=\pi \cdot b$, а $S=a\cdot b$, підставимо ці значення:
$V=C\cdot S$

Відповідь:
$V=C\cdot S$