Завдання № 71. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть відношення площ трикутника і трапеції, на які трикутник ділиться прямою, проведеною через точку перетину медіан паралельно одній з його сторін.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість точки перетину медіан

Нехай дано $△ABC$. Проведемо медіану $BD$ до сторони $AC$. Точка $K$ — точка перетину медіан трикутника (центроїд).

За властивістю медіан трикутника точка їх перетину ділить кожну медіану у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини:

Звідси відношення відрізка $BK$ до всієї медіани $BD$ дорівнює:

2. Подібність утвореного трикутника та початкового

Через точку $K$ паралельно стороні $AC$ проведено пряму $MN$, де $M\in AB$, $N\in BC$.

Оскільки $MN\parallel AC$, то:

• $\angle BMN=\angle BAC$ (як відповідні кути при паралельних прямих $MN$ і $AC$ та січній $AB$);
• $\angle BNM=\angle BCA$ (як відповідні кути при паралельних прямих $MN$ і $AC$ та січній $BC$).

Отже, за двома кутами:

Коефіцієнт подібності цих трикутників дорівнює відношенню відповідних лінійних елементів (зокрема, відрізків медіани):

3. Знаходження відношення площ фігур

Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності:

Тобто:

Пряма $MN$ ділить $△ABC$ на трикутник $MBN$ та трапецію $AMNC$. Площа трапеції $AMNC$ дорівнює різниці площ трикутників $△ABC$ та $△MBN$:

Знайдемо відношення площі утвореного трикутника до площі утвореної трапеції:

Відповідь:
$4:5$ (або $\frac{4}{5}$)