Завдання № 71. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння дотичних до кола радіуса $5$ із центром у точці $Q(-2;1)$, які паралельні осі абсцис.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз геометричних властивостей шуканих прямих
Будь-яка пряма, паралельна осі абсцис ($Ox$), є горизонтальною прямою і задається рівнянням виду:
$y=c\text{, де }c\in \mathbb{R}$

За властивістю дотичної до кола, відстань від центра кола до дотичної дорівнює радіусу цього кола ($R=5$).

2. Знаходження ординат дотичних
Центр кола має координати $Q(-2;1)$, отже, його ордината дорівнює $y_0=1$.

Відстань від точки $Q(-2;1)$ до горизонтальної прямої $y=c$ визначається модулем різниці їхніх ординат:
$d=|y_0-c|=|1-c|$

Оскільки ця відстань має дорівнювати радіусу $R=5$, складаємо рівняння:
$|1-c|=5$

Розкриваємо рівняння з модулем:
$1-c=5⟹c=1-5=-4$
$1-c=-5⟹c=1+5=6$

Таким чином, шуканими прямими є $y=6$ та $y=-4$.

3. Визначення точок дотику
Оскільки радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної, а самі дотичні паралельні осі $Ox$, радіуси дотику будуть паралельні осі $Oy$ (вертикальні відрізки).

Отже, абсциси точок дотику збігаються з абсцисою центра кола ($x=-2$):

• Верхня точка дотику: $A(-2;6)$
• Нижня точка дотику: $B(-2;-4)$

Відповідь:
$y=6$, $y=-4$