Завдання № 71. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

З точки, що розміщена на відстані $12 см$ від прямої, проведено дві похилі завдовжки $13 см$ і $15 см$ . Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки випадків слід розглянути?

Покроковий розв’язок:

Нехай дана пряма $m$ , а точка $A$ не належить їй та розміщена на відстані $12 см$ від прямої. Проведемо з точки $A$ перпендикуляр $A K$ до прямої $m$ ( $A K ⊥ m$ , $K \in m$ ), тоді $A K = 12 см$ .

З точки $A$ до прямої $m$ проведено дві похилі $A B = 13 см$ та $A C = 15 см$ , де точки $B$ і $C$ — основи похилих ( $B \in m$ , $C \in m$ ). Відрізки $B K$ і $K C$ є проєкціями похилих на пряму $m$ .

1. Знаходження проекцій похилих на пряму

Розглянемо прямокутний трикутник $△ A B K$ ( $∠ A K B = 9 0^{\circ}$ ):
За теоремою Піфагора:
$A B^{2} = A K^{2} + B K^{2}$
$B K = A B^{2} - A K^{2} = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 169 - 144 = 25 = 5 см$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ A C K$ ( $∠ A K C = 9 0^{\circ}$ ):
За теоремою Піфагора:
$A C^{2} = A K^{2} + K C^{2}$
$K C = A C^{2} - A K^{2} = 1 5^{2} - 1 2^{2} = 225 - 144 = 81 = 9 см$

2. Розгляд можливих випадків взаємного розміщення похилих

Оскільки в умові не вказано, як саме розміщені похилі відносно перпендикуляра, слід розглянути два випадки.

Випадок 1. Основи похилих розміщені по різні боки від основи перпендикуляра $K$

Креслення до випадку 1

У цьому разі точка $K$ лежить між точками $B$ і $C$ . Тоді відстань між основами похилих $B C$ дорівнює сумі їхніх проєкцій:
$B C = B K + K C = 5 + 9 = 14 см$

Випадок 2. Основи похилих розміщені по один бік від основи перпендикуляра $K$

Креслення до випадку 2

Оскільки $K C > B K$ ( $9 см > 5 см$ ), точка $B$ лежить між точками $K$ і $C$ . Тоді відстань між основами похилих $B C$ дорівнює різниці їхніх проєкцій:
$B C = K C - B K = 9 - 5 = 4 см$

Відповідь: слід розглянути $2$ випадки; $14 см$ або $4 см$ .

Завдання № 71. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку