Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Кожне бічне ребро піраміди дорівнює . Основа піраміди — трикутник зі сторонами , і .
1) Доведіть, що основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо трикутника основи.
2) Знайдіть об’єм піраміди.
Покроковий розв’язок:
1. Доведення положення основи висоти піраміди
Нехай — вершина піраміди, а трикутник — її основа зі сторонами , , . Відрізок — висота піраміди, опущена з вершини на площину основи ( — основа висоти, тобто ).
Оскільки висота перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині основи й проходить через точку , відрізок перпендикулярний до відрізків , та :
Розглянемо прямокутні трикутники , та :
- катет є спільним для всіх трьох трикутників;
- гіпотенузи рівні за умовою задачі: .
За ознакою рівності прямокутних трикутників (за гіпотенузою та спільним катетом):
З рівності трикутників випливає рівність відповідних катетів:
Оскільки точка лежить у площині трикутника і рівновіддалена від усіх трьох його вершин, за означенням вона є центром кола, описаного навколо трикутника . Отже, довжини відрізків дорівнюють радіусу описаного кола: . Твердження доведено.
2. Обчислення об’єму піраміди
Знайдемо площу трикутника основи за формулою Герона:
Знайдемо радіус кола, описаного навколо трикутника основи:
З прямокутного трикутника за теоремою Піфагора знайдемо висоту піраміди :
Зведемо радіус до знаменника :
Обчислимо довжину , застосувавши формулу різниці квадратів:
Обчислимо об’єм піраміди :
Відповідь:
1) Доведено;
2) .