Завдання № 70. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Знайдіть відношення площі трикутника до площі трапеції, яка відтинається від цього трикутника його середньою лінією.

Покроковий розв’язок:

Розглянемо довільний трикутник $A B C$ . Нехай відрізок $K M$ — його середня лінія, де точки $K$ та $M$ є серединами сторін $A B$ та $B C$ відповідно.

Середня лінія відтинає від трикутника $A B C$ менший трикутник $K B M$ та трапецію $A K M C$ .

1. Доведення подібності трикутників

За властивістю середньої лінії трикутника, $K M ∥ A C$ та $K M = \frac{1}{2} A C$ .

Оскільки $K M ∥ A C$ , то:

$∠ B K M = ∠ A$ (як відповідні кути при паралельних прямих $K M$ і $A C$ та січній $A B$ );
$∠ B M K = ∠ C$ (як відповідні кути при паралельних прямих $K M$ і $A C$ та січній $B C$ );
$∠ B$ — спільний кут.

Отже, трикутники $K B M$ і $A B C$ подібні за трьома кутами ( $△ K B M \sim △ A B C$ ).

2. Знаходження відношення площ трикутників

Коефіцієнт подібності цих трикутників дорівнює:
$k = \frac{K M}{A C} = \frac{1}{2}$

За теоремою про відношення площ подібних трикутників, їхні площі відносяться як квадрат коефіцієнта подібності:
$\frac{S _{△ K B M}}{S _{△ A B C}} = k^{2} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$

Звідси площа меншого трикутника становить:
$S_{△ K B M} = \frac{1}{4} S_{△ A B C}$

3. Обчислення площі утвореної трапеції

Площа трапеції $A K M C$ дорівнює різниці площ вихідного трикутника $A B C$ та відтятого трикутника $K B M$ :
$S_{A K M C} = S_{△ A B C} - S_{△ K B M} = S_{△ A B C} - \frac{1}{4} S_{△ A B C} = \frac{3}{4} S_{△ A B C}$

4. Знаходження шуканого відношення

Знайдемо відношення площі трикутника $A B C$ до площі трапеції $A K M C$ :
$\frac{S _{△ A B C}}{S _{A K M C}} = \frac{S _{△ A B C}}{\frac{3}{4} S _{△ A B C}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

Отже, площі відносяться як $4 : 3$ .

Відповідь: $4 : 3$ (або $\frac{4}{3}$ ).

Завдання № 70. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку