Завдання № 70. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння прямих, що містять сторони ромба, якщо його діагоналі завдовжки $8$ і $4$ лежать на осях координат, причому більша діагональ лежить на осі абсцис.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення координат вершин ромба

За властивістю ромба його діагоналі є взаємно перпендикулярними й точкою перетину діляться навпіл. Оскільки за умовою діагоналі лежать на осях координат, точка їхнього перетину збігається з початком координат — точкою $O(0;0)$.

Більша діагональ має довжину $8$ і лежить на осі абсцис ($Ox$). Оскільки точка $O(0;0)$ є її серединою, вершини ромба на цій осі віддалені від початку координат на:
$\frac{8}{2}=4$

Звідси отримуємо координати вершин: $A(-4;0)$ та $C(4;0)$.

Менша діагональ має довжину $4$ і лежить на осі ординат ($Oy$). Її вершини віддалені від початку координат на:
$\frac{4}{2}=2$

Звідси отримуємо координати вершин: $B(0;2)$ та $D(0;-2)$.

2. Складання рівнянь прямих

Канонічне рівняння прямої, що проходить через дві точки $(x_1;y_1)$ та $(x_2;y_2)$, має вигляд:
$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

• Рівняння прямої $AB$ (проходить через $A(-4;0)$ та $B(0;2)$):

  $$\begin{array}{rl}& \frac{x-(-4)}{0-(-4)}=\frac{y-0}{2-0}\\ & \frac{x+4}{4}=\frac{y}{2}\end{array}$$

  Помножимо обидві частини рівності на $4$:

  $$\begin{array}{rl}& x+4=2y\\ & x-2y+4=0\end{array}$$

• Рівняння прямої $BC$ (проходить через $B(0;2)$ та $C(4;0)$):

  $$\begin{array}{rl}& \frac{x-0}{4-0}=\frac{y-2}{0-2}\\ & \frac{x}{4}=\frac{y-2}{-2}\end{array}$$

  Помножимо обидві частини рівності на $4$:

  $$\begin{array}{rl}& x=-2(y-2)\\ & x=-2y+4\\ & x+2y-4=0\end{array}$$

• Рівняння прямої $CD$ (проходить через $C(4;0)$ та $D(0;-2)$):

  $$\begin{array}{rl}& \frac{x-4}{0-4}=\frac{y-0}{-2-0}\\ & \frac{x-4}{-4}=\frac{y}{-2}\end{array}$$

  Помножимо обидві частини рівності на $-4$:

  $$\begin{array}{rl}& x-4=2y\\ & x-2y-4=0\end{array}$$

• Рівняння прямої $AD$ (проходить через $A(-4;0)$ та $D(0;-2)$):

  $$\begin{array}{rl}& \frac{x-(-4)}{0-(-4)}=\frac{y-0}{-2-0}\\ & \frac{x+4}{4}=\frac{y}{-2}\end{array}$$

  Помножимо обидві частини рівності на $4$:

  $$\begin{array}{rl}& x+4=-2y\\ & x+2y+4=0\end{array}$$

Відповідь:
$x-2y+4=0$; $x+2y-4=0$; $x-2y-4=0$; $x+2y+4=0$.