Завдання № 7. Завдання для перевірки знань до §§ 15–17 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, у якого зовнішній кут на $90^{\circ }$ менший від внутрішнього.

Покроковий розв’язок:

Нехай $n$ — шукана кількість сторін правильного многокутника, $\alpha$ — градусна міра його внутрішнього кута, а $\beta$ — градусна міра його зовнішнього кута при тій самій вершині.

1. Зв’язок між внутрішнім та зовнішнім кутами

Внутрішній і зовнішній кути многокутника при одній вершині є суміжними, тому їхня сума завжди дорівнює $180^{\circ }$:
$\alpha +\beta =180^{\circ }$

За умовою задачі зовнішній кут на $90^{\circ }$ менший від внутрішнього:
$\alpha -\beta =90^{\circ }$

2. Обчислення градусної міри зовнішнього кута

Складемо систему рівнянь та знайдемо кут $\beta$:

Віднімемо від першого рівняння друге:
$(\alpha +\beta )-(\alpha -\beta )=180^{\circ }-90^{\circ }$
$2\cdot \beta =90^{\circ }$
$\beta =\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

Отже, зовнішній кут многокутника дорівнює $45^{\circ }$, а внутрішній:
$\alpha =45^{\circ }+90^{\circ }=135^{\circ }$

3. Знаходження кількості сторін

Сума всіх зовнішніх кутів правильного многокутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює $360^{\circ }$. Оскільки в правильного многокутника всі зовнішні кути рівні між собою, градусна міра одного зовнішнього кута визначається формулою:
$\beta =\frac{360^{\circ }}{n}$

Звідси виразимо кількість сторін $n$:
$n=\frac{360^{\circ }}{\beta }$
$n=\frac{360^{\circ }}{45^{\circ }}=8$

Таким чином, даний многокутник має $8$ сторін (є правильним восьмикутником).

Відповідь:
$8$ сторін.