Завдання № 7. Завдання для перевірки знань до §§ 11–14 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Одна зі сторін трикутника дорівнює $13\text{ см}$, дві інші утворюють кут $60^{\circ }$, а їхня різниця дорівнює $7\text{ см}$. Знайдіть периметр трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної та геометрична інтерпретація
Нехай менша з невідомих сторін трикутника дорівнює $x\text{ см}$ ($x>0$). Оскільки різниця двох сторін дорівнює $7\text{ см}$, то друга сторона становить $(x+7)\text{ см}$.

Кут між цими двома сторонами за умовою дорівнює $60^{\circ }$, а сторона, що лежить напроти цього кута, дорівнює $13\text{ см}$.

2. Застосування теореми косинусів
За теоремою косинусів, квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A$

Підставимо відомі значення у формулу:
$13^2=x^2+(x+7{)}^2-2\cdot x\cdot (x+7)\cdot \cos 60^{\circ }$

Враховуючи, що $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, отримуємо:
$169=x^2+(x^2+14\cdot x+49)-2\cdot x\cdot (x+7)\cdot \frac{1}{2}$

$169=2\cdot x^2+14\cdot x+49-x\cdot (x+7)$

$169=2\cdot x^2+14\cdot x+49-x^2-7\cdot x$

$x^2+7\cdot x+49-169=0$

$x^2+7\cdot x-120=0$

3. Розв’язування квадратного рівняння
Знайдемо корені рівняння за допомогою дискримінанта:
$D=7^2-4\cdot 1\cdot (-120)=49+480=529=23^2$

$x_1=\frac{-7+23}{2\cdot 1}=\frac{16}{2}=8$

$x_2=\frac{-7-23}{2\cdot 1}=\frac{-30}{2}=-15$

Оскільки довжина сторони трикутника є геометричною величиною і не може бути від’ємною ($x>0$), корінь $x=-15$ не задовольняє умову задачі.

Отже:

• перша сторона: $x=8\text{ см}$;
• друга сторона: $x+7=8+7=15\text{ см}$;
• третя сторона (за умовою): $13\text{ см}$.

4. Обчислення периметра трикутника
Периметр трикутника дорівнює сумі довжин усіх його сторін:
$P=8+15+13=36\text{ см}$

Відповідь: $36\text{ см}$.