Завдання № 7. Завдання для перевірки знань до §§ 6–10 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано вектори $\vec{a}(x;-2)$ і $\vec{b}(5;10)$. За якого значення $x$ вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$:

1) колінеарні;

2) перпендикулярні?

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження значення $x$, за якого вектори колінеарні
Два ненульові вектори $\vec{a}(x_1;y_1)$ та $\vec{b}(x_2;y_2)$ є колінеарними тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні:

Підставимо координати векторів $\vec{a}(x;-2)$ та $\vec{b}(5;10)$:

За основною властивістю пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх:

Оскільки відношення координат дорівнює $\frac{-1}{5}<0$, вектори $\vec{a}(-1;-2)$ та $\vec{b}(5;10)$ є протилежно напрямленими ($\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$), а отже — колінеарними.

2. Знаходження значення $x$, за якого вектори перпендикулярні
Два ненульові вектори перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

Скалярний добуток векторів, заданих координатами $\vec{a}(x_1;y_1)$ та $\vec{b}(x_2;y_2)$, обчислюється як сума добутків однойменних координат:

Складемо рівняння відповідно до умови:

Розв’яжемо утворене лінійне рівняння:

При $x=4$ вектор $\vec{a}(4;-2)$ перпендикулярний до вектора $\vec{b}(5;10)$.

3. Геометрична ілюстрація отриманих результатів

















x
y
0


b(5; 10)

a(-1; -2) [x = -1]

a(4; -2) [x = 4]

Відповідь:

1) $x=-1$;

2) $x=4$.