Завдання № 7. Завдання для перевірки знань до §§ 1–5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння кола радіуса $10$, яке проходить через точку $A(8;-1)$ і центр якого лежить на осі ординат.

Покроковий розв’язок:

1. Загальний вигляд рівняння кола
Загальне рівняння кола з центром у точці $O(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

За умовою задачі радіус кола дорівнює $10$, отже:
$R^2=10^2=100$

2. Координати центра кола
Оскільки центр кола лежить на осі ординат ($Oy$), його абсциса дорівнює нулю ($a=0$). Нехай ордината центра дорівнює $b$, тоді центр має координати $O(0;b)$.

Підставимо $a=0$ та $R^2=100$ у рівняння кола:
$x^2+(y-b{)}^2=100$

3. Знаходження ординати центра
Коло проходить через точку $A(8;-1)$, тому координати цієї точки задовольняють його рівняння. Підставимо $x=8$ та $y=-1$:
$8^2+(-1-b{)}^2=100$
$64+(-(b+1){)}^2=100$
$64+(b+1{)}^2=100$

Віднімемо $64$ від обох частин рівняння:
$(b+1{)}^2=36$

Звідси маємо два випадки:

1) $b+1=6⟹b=5$

2) $b+1=-6⟹b=-7$

Таким чином, умові задачі відповідають два центри: $O_1(0;5)$ та $O_2(0;-7)$.

4. Запис шуканих рівнянь
Підставивши знайдені значення ординати центра, отримаємо два рівняння кіл:

• для центра $O_1(0;5)$: $x^2+(y-5{)}^2=100$;
• для центра $O_2(0;-7)$: $x^2+(y+7{)}^2=100$.

Відповідь:
$x^2+(y-5{)}^2=100$ або $x^2+(y+7{)}^2=100$.