Завдання № 7. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть координати третьої вершини рівностороннього трикутника $ABC$, якщо відомі координати двох його вершин: $A(-1;0)$ та $B(1;0)$.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричний аналіз умови
Оскільки трикутник $ABC$ є рівностороннім, усі його сторони рівні:
$AB=BC=AC$

Знайдемо довжину сторони $AB$ за формулою відстані між двома точками:
$AB=\sqrt{(1-(-1){)}^2+(0-0{)}^2}=\sqrt{2^2}=2$

Нехай невідома третя вершина має координати $C(x;y)$.

2. Аналітичний спосіб (через систему рівнянь)
Запишемо вирази для довжин сторін $AC$ та $BC$:
$A{C}^2=(x-(-1){)}^2+(y-0{)}^2=(x+1{)}^2+y^2$
$B{C}^2=(x-1{)}^2+(y-0{)}^2=(x-1{)}^2+y^2$

Оскільки $A{C}^2=A{B}^2=4$ та $B{C}^2=A{B}^2=4$, складемо систему рівнянь:

Віднімемо від першого рівняння системи друге:
$(x+1{)}^2-(x-1{)}^2=0$
$(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)=0$
$4x=0⟹x=0$

Підставимо значення $x=0$ у перше рівняння:
$(0+1{)}^2+y^2=4$
$1+y^2=4$
$y^2=3$
$y=\sqrt{3}\text{або}y=-\sqrt{3}$

Отже, умовам задачі відповідають дві точки: $C_1(0;\sqrt{3})$ та $C_2(0;-\sqrt{3})$.

3. Геометричний спосіб (через властивості рівностороннього трикутника)
Вершини $A(-1;0)$ і $B(1;0)$ розташовані на осі абсцис симетрично відносно початку координат $O(0;0)$. Точка $O$ є серединою відрізка $AB$.

У рівносторонньому трикутнику медіана, проведена до основи, є одночасно висотою та бісектрисою. Оскільки відрізок $AB$ лежить на осі $Ox$, висота, проведена з вершини $C$, належить осі $Oy$, тому абсциса точки $C$ дорівнює $0$ ($x=0$).

Висота $h$ рівностороннього трикутника зі стороною $a=2$ обчислюється за формулою:
$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Оскільки вершина $C$ лежить на осі ординат на відстані $\sqrt{3}$ від початку координат, вона може лежати як у верхній півплощині ($y>0$), так і в нижній ($y<0$):
$C_1(0;\sqrt{3}),C_2(0;-\sqrt{3})$

Відповідь:
$(0;\sqrt{3})$ або $(0;-\sqrt{3})$.