Завдання № 7. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Прямі $a$ і $b$ перетинаються, і прямі $b$ і $c$ перетинаються. Яким може бути взаємне розміщення прямих $a$ і $c$? Розгляньте всі можливі випадки. До кожного зробіть малюнок.

Покроковий розв’язок:

У просторі взаємне розміщення двох прямих визначається тим, чи лежать вони в одній площині та чи мають спільні точки. За умовою, пряма $b$ перетинає пряму $a$ (у деякій точці $A$) і пряму $c$ (у деякій точці $C$).

Розглянемо всі можливі випадки розміщення прямих $a$ і $c$:

1. Прямі $a$ і $c$ перетинаються

Якщо всі три прямі $a$, $b$ і $c$ лежать в одній площині і прямі $a$ та $c$ не є паралельними, вони перетинаються в деякій спільній точці (ця точка може як збігатися з точкою перетину з прямою $b$, так і бути відмінною від неї). Також прямі $a$ і $c$ можуть перетинатися в просторі, якщо вони перетинають пряму $b$ в одній і тій самій точці ($A=C$).

2. Прямі $a$ і $c$ паралельні ($a\parallel c$)

Якщо прямі $a$, $b$ і $c$ лежать в одній площині, причому пряма $b$ є січною для двох паралельних прямих $a$ і $c$, то $a\parallel c$. У цьому випадку прямі $a$ і $c$ не мають жодної спільної точки.

3. Прямі $a$ і $c$ мимобіжні

Якщо прямі $a$ і $c$ не лежать в одній площині, вони є мимобіжними (не перетинаються і не є паралельними). Наочною моделлю такої ситуації є куб:

• нехай пряма $b$ містить вертикальне бічне ребро;
• пряма $a$ містить ребро нижньої основи, яке перетинає ребро $b$;
• пряма $c$ містить ребро верхньої основи, яке перетинає пряму $b$ у верхній вершині, проте напрямлене перпендикулярно до площини грані з прямою $a$.
  У результаті прямі $a$ і $c$ лежать у паралельних площинах (основах куба) і не є паралельними між собою, тобто є мимобіжними.

(Окремим граничним випадком також може бути збіг прямих $a$ і $c$, тобто $a=c$).

Відповідь:

Прямі $a$ і $c$ можуть:

1) перетинатися;

2) бути паралельними ($a\parallel c$);

3) бути мимобіжними;

4) збігатися ($a=c$).