Завдання № 7. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Коло із центром у точці $O$ описано навколо квадрата $ABCD$. Як задати відповідність між точками кола і квадрата так, щоб ця відповідність була перетворенням фігур?

Покроковий розв’язок:

1. Означення перетворення фігури
Перетворенням фігури $F$ у фігуру $F^{\prime }$ називають таку відповідність, за якої:

1) кожній точці фігури $F$ відповідає єдина точка фігури $F^{\prime }$;

2) кожна точка фігури $F^{\prime }$ є образом деякої (і тільки однієї) точки фігури $F$;

3) різним точкам фігури $F$ відповідають різні точки фігури $F^{\prime }$.
Тобто відповідність між точками фігур має бути взаємно однозначною (бієктивною).

2. Спосіб задання відповідності
Оскільки центр кола $O$ є водночас центром симетрії квадрата і лежить у його внутрішній області, відповідність можна задати за допомогою центрального проектування з центра $O$:

Кожній точці $X$ кола поставимо у відповідність точку $Y$ квадрата, яка є точкою перетину променя $OX$ зі стороною квадрата.

3. Обґрунтування взаємної однозначності

• Будь-який промінь із початком у центрі $O$ перетинає коло рівно в одній точці $X$, а контур квадрата — рівно в одній точці $Y$ (зокрема, якщо промінь проходить через вершину квадрата, то цією точкою є сама вершина).
• Навпаки, для будь-якої точки $Y$ квадрата існує єдиний промінь $OY$, який перетинає коло в єдиній точці $X$.
• Різним точкам кола $X_1\ne X_2$ відповідають різні промені $O{X}_1$ та $O{X}_2$, отже, і різні точки перетину $Y_1\ne Y_2$ на сторонах квадрата.

Таким чином, між множиною точок кола і множиною точок квадрата встановлюється взаємно однозначна відповідність, яка є перетворенням фігур.

Відповідь:
Кожній точці $X$ кола треба поставити у відповідність точку $Y$ квадрата, яка є точкою перетину променя $OX$ зі стороною квадрата.