Завдання № 7. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Доведіть, що центральний кут правильного многокутника дорівнює його зовнішньому куту.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано правильний $n$-кутник (многокутник, у якого всі $n$ сторін рівні та всі $n$ кутів рівні). Позначимо його центральний кут через $\alpha$, а зовнішній кут — через $\beta$.

1. Обчислення градусної міри центрального кута

Центральний кут правильного многокутника — це кут, під яким видно будь-яку з його сторін із центра описаного (або вписаного) кола.
Оскільки правильний $n$-кутник ділиться радіусами, проведеними з центра до всіх його вершин, на $n$ рівних рівнобедрених трикутників, а повний оберт навколо центра становить $360^{\circ }$, то градусна міра центрального кута дорівнює:
$\alpha =\frac{360^{\circ }}{n}$

2. Обчислення градусної міри зовнішнього кута

Зовнішнім кутом опуклого многокутника при даній вершині називають кут, суміжний із внутрішнім кутом многокутника при цій вершині.
Обчислити його можна двома способами:

Спосіб 1 (через суму зовнішніх кутів):
За теоремою про суму зовнішніх кутів опуклого многокутника, взятих по одному при кожній вершині, сума всіх зовнішніх кутів завжди дорівнює $360^{\circ }$.
Оскільки многокутник правильний, усі його внутрішні кути рівні між собою, отже, і всі суміжні з ними зовнішні кути також рівні між собою.
Оскільки вершин усього $n$, то величина одного зовнішнього кута дорівнює:
$\beta =\frac{360^{\circ }}{n}$

Спосіб 2 (через внутрішній кут многокутника):
Сума внутрішніх кутів довільного опуклого $n$-кутника дорівнює $180^{\circ }\cdot (n-2)$.
Оскільки у правильного $n$-кутника всі кути рівні, то кожен внутрішній кут дорівнює:
$\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}=180^{\circ }-\frac{360^{\circ }}{n}$
Оскільки зовнішній кут є суміжним із внутрішнім, їхня сума дорівнює $180^{\circ }$. Звідси:
$\beta =180^{\circ }-\left(180^{\circ }-\frac{360^{\circ }}{n}\right)=\frac{360^{\circ }}{n}$

3. Порівняння значень

З формул для кутів $\alpha$ та $\beta$ маємо:
$\alpha =\frac{360^{\circ }}{n}\text{та}\beta =\frac{360^{\circ }}{n}$
Отже:
$\alpha =\beta$

Твердження повністю доведено.

На рисунку нижче наведено приклад для правильного шестикутника ($n=6$), де центральний кут $\alpha =\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$, а зовнішній кут $\beta =\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$:

Відповідь:

Доведено, що для довільного правильного $n$-кутника центральний кут $\alpha =\frac{360^{\circ }}{n}$ та зовнішній кут $\beta =\frac{360^{\circ }}{n}$, отже, $\alpha =\beta$.