Завдання № 7. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Знайдіть суму квадратів діагоналей ромба, сторона якого дорівнює $10 см$ .

Покроковий розв’язок:

1. Геометричні властивості ромба
Нехай дано ромб $A B C D$ зі стороною $a = 10 см$ та діагоналями $A C = d_{1}$ і $B D = d_{2}$ .

Оскільки ромб є окремим випадком паралелограма, для нього справджується теорема про суму квадратів діагоналей паралелограма: сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його чотирьох сторін.

Оскільки у ромба всі сторони рівні ( $A B = B C = C D = A D = a$ ):
$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = a^{2} + a^{2} + a^{2} + a^{2} = 4 \cdot a^{2}$

Цю формулу також легко отримати через властивість діагоналей ромба: вони перетинаються під прямим кутом і точкою перетину $O$ діляться навпіл. Розглянувши прямокутний трикутник $△ A B O$ з катетами $\frac{d _{1}}{2}$ та $\frac{d _{2}}{2}$ і гіпотенузою $a$ , за теоремою Піфагора маємо:
$(\frac{d _{1}}{2})^{2} + (\frac{d _{2}}{2})^{2} = a^{2}$
$\frac{d _{1}^{2}}{4} + \frac{d _{2}^{2}}{4} = a^{2}$
$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 \cdot a^{2}$

2. Обчислення шуканої суми
Підставимо значення довжини сторони ромба $a = 10 см$ у формулу:
$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 \cdot 1 0^{2} = 4 \cdot 100 = 400 см^{2}$

Відповідь:
$400 см^{2}$

Завдання № 7. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку