Завдання № 7. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
$ABCD$ — прямокутна трапеція ($\angle A=\angle B=90^{\circ }$), $\angle C=45^{\circ }$, $AB=5$, $BC=12$. Знайдіть модулі векторів $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{DC}$ і $\overrightarrow{BD}$.

Покроковий розв’язок:

Модуль вектора дорівнює довжині відповідного відрізка: $|\overrightarrow{AC}|=AC$, $|\overrightarrow{DC}|=DC$, $|\overrightarrow{BD}|=BD$.

1. Допоміжна побудова та визначення елементів трапеції

Проведемо з вершини $D$ перпендикуляр $DK$ до більшої основи $BC$ ($K\in BC$).
Оскільки $\angle A=\angle B=90^{\circ }$ та $DK\perp BC$, чотирикутник $ABKD$ є прямокутником.
Звідси випливає:
$DK=AB=5$
$AD=BK$

Розглянемо прямокутний трикутник $△DKC$ ($\angle DKC=90^{\circ }$):
Оскільки $\angle C=45^{\circ }$, то другий гострий кут:
$\angle KDC=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$
Отже, трикутник $△DKC$ — рівнобедрений прямокутний трикутник з катетами:
$KC=DK=5$

Обчислимо довжину відрізка $BK$ та меншої основи $AD$:
$BK=BC-KC=12-5=7$
$AD=BK=7$

2. Знаходження модуля вектора $\overrightarrow{AC}$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABC$ ($\angle B=90^{\circ }$).
За теоремою Піфагора:
$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}$
$AC=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$

Отже, $|\overrightarrow{AC}|=13$.

3. Знаходження модуля вектора $\overrightarrow{DC}$

З прямокутного трикутника $△DKC$ за теоремою Піфагора:
$DC=\sqrt{D{K}^2+K{C}^2}$
$DC=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$

Отже, $|\overrightarrow{DC}|=5\sqrt{2}$.

4. Знаходження модуля вектора $\overrightarrow{BD}$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABD$ ($\angle A=90^{\circ }$).
За теоремою Піфагора:
$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}$
$BD=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}$

Отже, $|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{74}$.

Відповідь:
$|\overrightarrow{AC}|=13$, $|\overrightarrow{DC}|=5\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{74}$.