Завдання № 7. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть усі кути паралелограма, якщо:

1) сума двох з них дорівнює $260^{\circ }$;

2) один з них на $20^{\circ }$ менший від іншого;

3) один з них утричі більший за інший.

Покроковий розв’язок:

За властивостями паралелограма:

• протилежні кути рівні між собою;
• сума кутів, прилеглих до будь-якої однієї сторони (сусідніх кутів), дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих).

1. Сума двох кутів дорівнює $260^{\circ }$

Оскільки сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма завжди становить $180^{\circ }$, дані кути не можуть бути сусідніми ($260^{\circ }\ne 180^{\circ }$). Отже, це протилежні кути.

Нехай шукані протилежні кути дорівнюють $\angle A$ та $\angle C$. Оскільки протилежні кути паралелограма рівні:
$\angle A=\angle C$

За умовою:
$\angle A+\angle C=260^{\circ }$
$2\cdot \angle A=260^{\circ }$
$\angle A=\frac{260^{\circ }}{2}=130^{\circ }$

Звідси $\angle C=130^{\circ }$.

Знайдемо суміжний із ними кут $\angle B$:
$\angle B=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }$

Протилежний йому кут $\angle D$ також дорівнює:
$\angle D=\angle B=50^{\circ }$

Кути паралелограма: $130^{\circ }$, $50^{\circ }$, $130^{\circ }$, $50^{\circ }$.

2. Один із кутів на $20^{\circ }$ менший від іншого

Протилежні кути паралелограма рівні (різниця між ними дорівнює $0^{\circ }$), тому кути, про які йдеться, є сусідніми.

Нехай менший із сусідніх кутів дорівнює $x$, тоді більший кут дорівнює $x+20^{\circ }$.

Оскільки сума сусідніх кутів дорівнює $180^{\circ }$, складаємо рівняння:
$x+(x+20^{\circ })=180^{\circ }$
$2\cdot x+20^{\circ }=180^{\circ }$
$2\cdot x=180^{\circ }-20^{\circ }$
$2\cdot x=160^{\circ }$
$x=\frac{160^{\circ }}{2}$
$x=80^{\circ }$

Отже, менший кут дорівнює $80^{\circ }$, а більший кут:
$80^{\circ }+20^{\circ }=100^{\circ }$

Кути паралелограма: $80^{\circ }$, $100^{\circ }$, $80^{\circ }$, $100^{\circ }$.

3. Один із кутів утричі більший за інший

Оскільки протилежні кути рівні, даними кутами знову є сусідні кути паралелограма.

Нехай менший кут дорівнює $y$, тоді більший кут дорівнює $3\cdot y$.

Оскільки сума сусідніх кутів дорівнює $180^{\circ }$, маємо:
$y+3\cdot y=180^{\circ }$
$4\cdot y=180^{\circ }$
$y=\frac{180^{\circ }}{4}$
$y=45^{\circ }$

Знаходимо більший кут:
$3\cdot 45^{\circ }=135^{\circ }$

Кути паралелограма: $45^{\circ }$, $135^{\circ }$, $45^{\circ }$, $135^{\circ }$.

Відповідь:

1) $130^{\circ }$, $50^{\circ }$, $130^{\circ }$, $50^{\circ }$;

2) $80^{\circ }$, $100^{\circ }$, $80^{\circ }$, $100^{\circ }$;

3) $45^{\circ }$, $135^{\circ }$, $45^{\circ }$, $135^{\circ }$.