Завдання № 7. Домашня самостійна робота 4 (§§ 15–17) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Зовнішній кут правильного многокутника становить $\frac{1}{4}$ від внутрішнього. Знайдіть, скільки сторін у цього многокутника.
А. $9$
Б. $10$
В. $12$
Г. $16$

Покроковий розв’язок:

1. Використання властивості суміжних кутів
Внутрішній і зовнішній кути при одній вершині будь-якого опуклого многокутника є суміжними, отже, їх сума дорівнює $180^{\circ }$.

Нехай величина внутрішнього кута правильного многокутника дорівнює $\alpha$, а зовнішнього — $\beta$.

За умовою задачі зовнішній кут становить $\frac{1}{4}$ від внутрішнього:
$\beta =\frac{1}{4}\alpha$

Оскільки сума внутрішнього і зовнішнього кутів дорівнює $180^{\circ }$:
$\alpha +\beta =180^{\circ }$

Підставимо вираз для $\beta$:
$\alpha +\frac{1}{4}\alpha =180^{\circ }$
$\frac{5}{4}\alpha =180^{\circ }$
$\alpha =180^{\circ }\cdot \frac{4}{5}$
$\alpha =144^{\circ }$

2. Обчислення величини зовнішнього кута
Знайдемо зовнішній кут $\beta$:
$\beta =180^{\circ }-144^{\circ }=36^{\circ }$

3. Знаходження кількості сторін многокутника
Сума всіх зовнішніх кутів правильного $n$-кутника, взятих по одному при кожній вершині, завжди дорівнює $360^{\circ }$. Оскільки всі зовнішні кути правильного многокутника рівні, величина одного зовнішнього кута визначається за формулою:
$\beta =\frac{360^{\circ }}{n}$

Звідси знайдемо кількість сторін $n$:
$n=\frac{360^{\circ }}{\beta }$
$n=\frac{360^{\circ }}{36^{\circ }}=10$

Отже, многокутник має $10$ сторін.

Відповідь:
Б. $10$