Завдання № 7. Домашня самостійна робота 3 (§§11–14) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Одна зі сторін трикутника дорівнює $14\text{ см}$, дві інші утворюють кут $120^{\circ }$, а їхня різниця дорівнює $4\text{ см}$. Знайдіть периметр трикутника.

А. $30\text{ см}$
Б. $32\text{ см}$
В. $28\text{ см}$
Г. $34\text{ см}$

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної та геометрична модель
Нехай одна з невідомих сторін трикутника дорівнює $x\text{ см}$ ($x>0$). Оскільки різниця двох сторін становить $4\text{ см}$, то друга невідома сторона дорівнює $(x+4)\text{ см}$.

Кут між цими сторонами дорівнює $120^{\circ }$, а сторона, що лежить напроти цього кута, має довжину $14\text{ см}$.

2. Складання рівняння за теоремою косинусів
За теоремою косинусів квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:
$14^2=x^2+(x+4{)}^2-2\cdot x\cdot (x+4)\cdot \cos 120^{\circ }$

Значення косинуса тупого кута $120^{\circ }$:
$\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}=-0,5$

Підставимо це значення у вираз:
$196=x^2+(x^2+8x+16)-2\cdot x\cdot (x+4)\cdot (-0,5)$

Спростимо вираз із урахуванням знаків:
$196=2x^2+8x+16+x\cdot (x+4)$
$196=2x^2+8x+16+x^2+4x$
$196=3x^2+12x+16$

Перенесемо всі доданки в один бік:
$3x^2+12x+16-196=0$
$3x^2+12x-180=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $3$:
$x^2+4x-60=0$

3. Розв’язування квадратного рівняння
За теоремою Вієта:
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-4\\ x_1\cdot x_2=-60\end{array}$

Звідси знаходимо корені:
$x_1=6,x_2=-10$

Оскільки довжина сторони трикутника є додатною величиною ($x>0$), корінь $x_2=-10$ не задовольняє геометричний зміст задачі.

Отже, $x=6\text{ см}$.

4. Обчислення сторін та периметра трикутника
Довжини сторін трикутника:

• перша сторона: $x=6\text{ см}$;
• друга сторона: $x+4=6+4=10\text{ см}$;
• третя сторона: $14\text{ см}$.

Обчислимо периметр:
$P=6+10+14=30\text{ см}$

Відповідь: А. $30\text{ см}$