Завдання № 7.36. § 7. Координати вектора (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано трапецію $ABCD$ з основами $AD$ і $BC$. Бісектриса кута $ABC$ перетинає середню лінію трапеції в точці $N$, а основу $AD$ — у точці $K$. Чи можна знайти градусну міру кута $ANB$? У разі ствердної відповіді знайдіть градусну міру цього кута.

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження трикутника $△ABK$
За умовою, $BK$ — бісектриса кута $ABC$, отже:
$\angle ABK=\angle KBC\text{ (на малюнку }\angle 1=\angle 2\text{)}$

Оскільки основи трапеції паралельні ($BC\parallel AD$), а відрізок $BK$ є їхньою січною, то внутрішні різносторонні кути рівні:
$\angle KBC=\angle BKA\text{ (на малюнку }\angle 2=\angle 3\text{)}$

Порівнюючи ці рівності, маємо:
$\angle ABK=\angle BKA\text{ (тобто }\angle 1=\angle 3\text{)}$

Якщо в трикутнику два кути рівні, то він є рівнобедреним. Отже, $△ABK$ — рівнобедрений з основою $BK$ та рівними бічними сторонами:
$AB=AK$

2. Визначення положення точки $N$
За умовою, $MP$ — середня лінія трапеції $ABCD$, тому точка $M$ є серединою бічної сторони $AB$, і середня лінія паралельна основам:
$MP\parallel AD\parallel BC$

Точка $N$ є точкою перетину бісектриси $BK$ та середньої лінії $MP$. Розглянемо $△ABK$:

• Точка $M$ — середина сторони $AB$;
• Відрізок $MN$ лежить на середній лінії трапеції, отже, $MN\parallel AK$.

За теоремою про середню лінію трикутника (або за теоремою Фалеса), пряма, що проходить через середину однієї сторони паралельно іншій стороні, ділить третю сторону навпіл. Звідси випливає, що точка $N$ є серединою сторони $BK$.

3. Знаходження градусної міри кута $\angle ANB$
Оскільки $N$ — середина відрізка $BK$, то відрізок $AN$ є медіаною рівнобедреного трикутника $△ABK$, проведеною до його основи $BK$.

За властивістю рівнобедреного трикутника, медіана, проведена до основи, є також його висотою:
$AN\perp BK$

Таким чином:
$\angle ANB=90^{\circ }$

Отже, градусну міру кута знайти можна, і вона дорівнює $90^{\circ }$.

Відповідь:
Так, можна знайти; $\angle ANB=90^{\circ }$.