Завдання № 7.34. § 7. Координати вектора (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, ділить висоту, проведену до основи, у відношенні $5 : 3$ , рахуючи від вершини трикутника. Знайдіть периметр трикутника, якщо його бічна сторона на $3 см$ менша від основи.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричні властивості фігури та радіусів вписаного кола:
Нехай задано рівнобедрений трикутник $△ A B C$ , у якому $A B = B C$ , а відрізок $B M$ — висота, опущена на основу $A C$ .
Оскільки в рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є також медіаною та бісектрисою:

$B M ⊥ A C$ ;
точка $M$ є серединою відрізка $A C$ , тому $M C = \frac{1}{2} \cdot A C$ ;
промінь $B M$ містить бісектрису кута $∠ B$ , отже, центр вписаного кола $O$ лежить на відрізку $B M$ .

Точка $M$ є точкою дотику вписаного кола до сторони $A C$ , оскільки радіус $O M ⊥ A C$ . Відповідно, $O M = r$ , де $r$ — радіус вписаного кола.
Нехай точка $K$ — точка дотику вписаного кола до бічної сторони $B C$ . Радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної: $O K ⊥ B C$ , отже, $O K = r$ .

2. Доведення співвідношення між сторонами:
Розглянемо прямокутні трикутники $△ B K O$ ( $∠ B K O = 9 0^{\circ}$ ) та $△ B M C$ ( $∠ B M C = 9 0^{\circ}$ ).
Кут $∠ B$ (тобто $∠ K B O = ∠ M B C$ ) є спільним для обох трикутників.
Отже, трикутники подібні за гострим кутом (за першою ознакою подібності):
$△ B K O \sim △ B M C$

З подібності трикутників запишемо відношення відповідних сторін:
$\frac{B O}{B C} = \frac{O K}{M C}$

Переставимо члени пропорції для зручності:
$\frac{B C}{M C} = \frac{B O}{O K}$

Оскільки $O K = O M = r$ , отримуємо:
$\frac{B C}{M C} = \frac{B O}{O M}$

За умовою центр кола ділить висоту у відношенні $B O : O M = 5 : 3$ , звідки:
$\frac{B C}{M C} = \frac{5}{3}$

3. Знаходження сторін трикутника:
Позначимо довжину основи $A C$ через $x см$ .
Тоді:
$M C = \frac{1}{2} \cdot x = 0, 5 x (см)$

Оскільки бічна сторона на $3 см$ менша від основи, маємо:
$B C = x - 3 (см)$

Підставимо ці вирази у пропорцію:
$\frac{x - 3}{0 , 5 x} = \frac{5}{3}$

За основною властивістю пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх):
$3 \cdot (x - 3) = 5 \cdot 0, 5 x$
$3 x - 9 = 2, 5 x$
$3 x - 2, 5 x = 9$
$0, 5 x = 9$
$x = \frac{9}{0 , 5} = 18$

Отже:

основа $A C = 18 см$ ;
бічні сторони $A B = B C = 18 - 3 = 15 см$ .

4. Обчислення периметра трикутника:
Периметр рівнобедреного трикутника обчислюється як сума довжин усіх його сторін:
$P = A B + B C + A C$
$P = 15 + 15 + 18 = 48 (см)$

Відповідь: $48 см$ .

Завдання № 7.34. § 7. Координати вектора (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку