Завдання № 7.31. § 7. Координати вектора (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть рівняння, яке задовольняють координати $(x;y)$ усіх таких точок $B$, що вектор $\overrightarrow{AB}$ має той самий модуль, що і вектор $\vec{a}(2;-3)$, якщо $A(4;5)$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення координат вектора $\overrightarrow{AB}$
Нехай шукана точка $B$ має координати $(x;y)$.
Координати вектора знаходять відніманням від координат його кінця відповідних координат початку:
$\overrightarrow{AB}=(x-4;y-5)$

2. Обчислення модуля вектора $\vec{a}$
Модуль (довжина) довільного вектора $\vec{v}(v_1;v_2)$ обчислюється за формулою:
$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Для заданого вектора $\vec{a}(2;-3)$ маємо:
$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-3{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

3. Складання рівняння для точок $B$
Модуль вектора $\overrightarrow{AB}$ дорівнює:
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x-4{)}^2+(y-5{)}^2}$

За умовою задачі модуль вектора $\overrightarrow{AB}$ дорівнює модулю вектора $\vec{a}$, тобто $|\overrightarrow{AB}|=|\vec{a}|$:
$\sqrt{(x-4{)}^2+(y-5{)}^2}=\sqrt{13}$

Піднесемо обидві частини рівності до квадрата:
$(x-4{)}^2+(y-5{)}^2=13$

4. Геометричний зміст знайденого рівняння
Отримане співвідношення є рівнянням кола з центром у точці $A(4;5)$ та радіусом $R=\sqrt{13}$. Усі точки $B$, що лежать на цьому колі, знаходяться на однаковій відстані $\sqrt{13}$ від точки $A$, а отже, вектор $\overrightarrow{AB}$ для кожної такої точки має модуль, рівний $|\vec{a}|$.

Відповідь:
$(x-4{)}^2+(y-5{)}^2=13$