Завдання № 7.30. § 7. Координати вектора (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Модуль вектора $\overrightarrow{b}(x;y)$ дорівнює $\sqrt{5}$. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{b}$, якщо їхня сума дорівнює $1$.

Покроковий розв’язок:

1. Складання системи рівнянь
За умовою задачі, сума координат вектора $\overrightarrow{b}(x;y)$ дорівнює $1$:
$x+y=1$

Звідси виразимо змінну $y$ через $x$:
$y=1-x$

Модуль (довжина) вектора із координатами $(x;y)$ обчислюється за формулою:
$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Оскільки за умовою $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$, маємо:
$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5}$

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:
$x^2+y^2=5$

2. Розв’язування системи рівнянь
Підставимо вираз $y=1-x$ у рівняння $x^2+y^2=5$:
$x^2+(1-x{)}^2=5$

Розкриємо дужки, застосувавши формулу квадрата різниці:
$x^2+(1-2\cdot x+x^2)=5$
$2x^2-2x+1-5=0$
$2x^2-2x-4=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:
$x^2-x-2=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння за теоремою Вієта:

3. Знаходження відповідних значень ординати $y$

• Якщо $x_1=-1$, то:
  $y_1=1-(-1)=1+1=2$
  Отримуємо вектор ${\overrightarrow{b}}_1(-1;2)$.

• Якщо $x_2=2$, то:
  $y_2=1-2=-1$
  Отримуємо вектор ${\overrightarrow{b}}_2(2;-1)$.

4. Геометрична інтерпретація розв’язку
Геометрично задача зводиться до знаходження точок перетину прямої $x+y=1$ та кола $x^2+y^2=5$ із центром у початку координат $O(0;0)$ і радіусом $R=\sqrt{5}$.

Відповідь:
$\overrightarrow{b}(-1;2)$ або $\overrightarrow{b}(2;-1)$