Завдання № 7.29. § 7. Координати вектора (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Модуль вектора $\overrightarrow{a}(x;y)$ дорівнює $\sqrt{10}$. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{a}$, якщо координата $x$ цього вектора на $2$ більша за координату $y$.

Покроковий розв’язок:

1. Вираження залежності між координатами
За умовою задачі координата $x$ на $2$ більша за координату $y$:
$x-y=2⟹y=x-2$
Таким чином, вектор можна записати через одну змінну: $\overrightarrow{a}(x;x-2)$.

2. Застосування формули модуля вектора
Модуль вектора $\overrightarrow{a}(x;y)$ обчислюється за формулою:
$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Підставимо у формулу значення модуля $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{10}$ та вираз для ординати $y$:
$\sqrt{x^2+(x-2{)}^2}=\sqrt{10}$

3. Розв’язування алгебраїчного рівняння
Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:
$x^2+(x-2{)}^2=10$

Розкриємо дужки за формулою квадрата двочлена:
$x^2+x^2-4\cdot x+4=10$
$2x^2-4x-6=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:
$x^2-2x-3=0$

За теоремою Вієта:
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1\cdot x_2=-3\end{array}⟹x_1=-1,x_2=3$

4. Обчислення ординат і знаходження координат вектора
Знайдемо відповідні значення координати $y$ за формулою $y=x-2$:

1) Якщо $x_1=-1$, то:
$y_1=-1-2=-3$
Отримуємо вектор $\overrightarrow{a}(-1;-3)$.

2) Якщо $x_2=3$, то:
$y_2=3-2=1$
Отримуємо вектор $\overrightarrow{a}(3;1)$.

Відповідь:
$\overrightarrow{a}(-1;-3)$ або $\overrightarrow{a}(3;1)$.