Завдання № 7.28. § 7. Координати вектора (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами $A(-1;4)$, $B(-1;0)$, $C(4;0)$ і $D(4;4)$ є прямокутником.

Покроковий розв’язок:

Для того щоб довести, що чотирикутник є прямокутником за допомогою векторного методу, достатньо:

1) Довести, що чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом (показати рівність протилежних векторів сторін).

2) Довести, що діагоналі цього паралелограма рівні за довжиною (або показати, що суміжні сторони взаємно перпендикулярні за допомогою скалярного добутку).

1. Доведення того, що $ABCD$ — паралелограм

Координати вектора з початком у точці $(x_1;y_1)$ і кінцем у точці $(x_2;y_2)$ знаходять за формулою:

Знайдемо координати векторів протилежних сторін $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$:

Оскільки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, вектори рівні за довжиною та співнапрямлені:

За ознакою паралелограма, якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні й паралельні, то цей чотирикутник — паралелограм. Отже, $ABCD$ — паралелограм.

2. Обчислення довжин діагоналей $AC$ і $BD$

Знайдемо координати векторів діагоналей $\overrightarrow{AC}$ та $\overrightarrow{BD}$:

Довжина вектора $\vec{a}=(x;y)$ обчислюється за формулою:

Обчислимо довжини діагоналей:

Оскільки довжини діагоналей рівні ($|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{41}$), а паралелограм, у якого діагоналі рівні, є прямокутником, то чотирикутник $ABCD$ — прямокутник.

(Зауваження: перпендикулярність суміжних сторін також можна було перевірити через скалярний добуток: $\overrightarrow{BC}=(4-(-1);0-0)=(5;0)$, тоді $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0\cdot 5+(-4)\cdot 0=0$, звідки $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$, отже $\angle B=90^{\circ }$).

Відповідь:
Доведено: чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом із рівними діагоналями ($|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{41}$), отже, $ABCD$ — прямокутник.