Завдання № 7.27. § 7. Координати вектора (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами $A(4;2)$, $B(5;5)$, $C(4;8)$ і $D(3;5)$ є ромбом.

Покроковий розв’язок:
Щоб довести, що чотирикутник $ABCD$ є ромбом за допомогою векторів, достатньо:

1) Довести, що чотирикутник є паралелограмом (показати рівність протилежних векторів сторін: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$).

2) Довести, що дві його суміжні (сусідні) сторони рівні за довжиною ($|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$). Паралелограм із рівними сусідніми сторонами за означенням є ромбом.

1. Доведення того, що чотирикутник $ABCD$ — паралелограм
Знайдемо координати векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$.
Координати вектора обчислюються шляхом віднімання координат його початку від відповідних координат його кінця:

Оскільки вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$ мають однакові відповідні координати, вони є рівними:

З рівності векторів випливає, що:

• сторони $AB$ і $DC$ лежать на паралельних прямих ($AB\parallel CD$);
• їхні довжини однакові ($AB=DC$).

Отже, за ознакою паралелограма, чотирикутник $ABCD$ — паралелограм.

2. Порівняння довжин суміжних сторін
Знайдемо довжину вектора $\overrightarrow{AB}$ за формулою модуля вектора $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$:

Знайдемо координати та довжину суміжного вектора $\overrightarrow{BC}$:

Отже, довжини сторін рівні:

Оскільки чотирикутник $ABCD$ — паралелограм, у якого сусідні сторони рівні, то $ABCD$ є ромбом за означенням. Доведено.

Відповідь:
Доведено: чотирикутник $ABCD$ є ромбом, оскільки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(1;3)$ (отже, $ABCD$ — паралелограм) та $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{10}$ (суміжні сторони рівні).