Завдання № 7.24. § 7. Координати вектора (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $KLMN$ є паралелограмом, якщо $K(0;-2)$, $L(3;0)$, $M(7;2)$, $N(4;0)$.

Покроковий розв’язок:

Чотирикутник $KLMN$ є паралелограмом, якщо дві його протилежні сторони рівні й паралельні. У векторній формі це означає, що вектори, які відповідають цим сторонам і мають однаковий напрямок обходу, є рівними: $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{NM}$ (або $\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{LM}$).

Рівні вектори мають рівні відповідні координати.

1. Знаходження координат вектора $\overrightarrow{KL}$

Координати вектора обчислюються відніманням координат початку вектора від координат його кінця:

2. Знаходження координат вектора $\overrightarrow{NM}$

Аналогічно знайдемо координати протилежного вектора $\overrightarrow{NM}$:

3. Висновок

Оскільки координати векторів збігаються, вектори є рівними:

З рівності векторів $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{NM}$ випливає, що:

1) Вони мають однакову довжину: $|\overrightarrow{KL}|=|\overrightarrow{NM}|$, отже, сторони $KL=NM$.

2) Вони є співнапрямленими: $\overrightarrow{KL}\uparrow \uparrow \overrightarrow{NM}$, отже, прямі $KL$ і $NM$ паралельні ($KL\parallel NM$).

За ознакою паралелограма, якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні й паралельні, то цей чотирикутник є паралелограмом. Отже, $KLMN$ — паралелограм, що й треба було довести.

Відповідь:
Доведено, що $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{NM}=(3;2)$, тому сторони $KL$ і $NM$ рівні та паралельні, отже, чотирикутник $KLMN$ є паралелограмом.