Завдання № 7.23. § 7. Координати вектора (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом, якщо $A(2;0)$, $B(0;3)$, $C(2;-2)$, $D(4;-5)$.

Покроковий розв’язок:

1. Пригадаємо ознаку рівності векторів та ознаку паралелограма
Чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом, якщо дві його протилежні сторони паралельні та рівні за довжиною.
Мовою векторів це означає: якщо вектори протилежних сторін $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$ рівні ($\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$), то:

1) Їхні довжини рівні: $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$, отже, довжини сторін $AB=DC$.

2) Вектори співнапрямлені: $\overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{DC}$, отже, прямі $AB\parallel DC$.

Два вектори є рівними тоді й тільки тоді, коли їхні відповідні координати рівні.

2. Обчислення координат векторів
Координати вектора з початком у точці $(x_1;y_1)$ та кінцем у точці $(x_2;y_2)$ знаходять за формулою:

Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{AB}$ за координатами точок $A(2;0)$ та $B(0;3)$:

Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{DC}$ за координатами точок $D(4;-5)$ та $C(2;-2)$:

3. Висновок
Оскільки координати векторів збігаються:

то вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$ є рівними.

Із рівності векторів $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ випливає, що сторони чотирикутника $AB$ і $DC$ рівні за довжиною ($AB=DC$) та лежать на паралельних прямих ($AB\parallel DC$).

За ознакою паралелограма, якщо дві протилежні сторони чотирикутника рівні й паралельні, то цей чотирикутник є паралелограмом. Отже, $ABCD$ — паралелограм, що й треба було довести.

Відповідь:
Доведено, що $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(-2;3)$, отже, сторони $AB$ і $DC$ рівні й паралельні ($AB=DC$, $AB\parallel DC$), тому чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом.