Завдання № 69. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Куб, ребро якого дорівнює $a$, зрізано по кутах так, що від кожної грані залишився правильний восьмикутник. Знайдіть об’єм утвореного многогранника.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричний аналіз перерізу кожної грані

Кожна грань початкового куба є квадратом зі стороною $a$.

Зрізання кутів куба призводить до того, що на кожній грані відтинаються чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикутники, утворюючи правильний восьмикутник.

Нехай $x$ — довжина сторони отриманого правильного восьмикутника, а $y$ — довжина катета відрізаного кутового трикутника.

За теоремою Піфагора для прямокутного рівнобедреного трикутника з катетами $y$:
$x=\sqrt{y^2+y^2}=y\sqrt{2}$

Звідси виразимо $y$ через $x$:
$y=\frac{x}{\sqrt{2}}$

2. Вираження розмірів через ребро куба $a$

Сторона квадратної грані куба $a$ складається з довжини сторони восьмикутника $x$ та двох катетів $y$:
$a=x+2y=x+2\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}=x+x\sqrt{2}=x(\sqrt{2}+1)$

Знайдемо сторону правильного восьмикутника $x$:
$x=\frac{a}{\sqrt{2}+1}=\frac{a(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=a(\sqrt{2}-1)$

Тепер обчислимо значення величини $y$:
$y=\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{a(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}=a\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{a(2-\sqrt{2})}{2}$

3. Знаходження об’єму відрізаних частин

У кожній з $8$ вершин початкового куба зрізається трикутна піраміда, бічні ребра якої сходяться у вершині куба під прямими кутами і мають довжину $y$.

Тобто кожна відрізана частина є прямокутною пірамідою, площа основи якої дорівнює:
$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot y\cdot y=\frac{1}{2}{y}^2$

Висота цієї піраміди дорівнює $h=y$. Об’єм однієї такої піраміди:
$V_{\text{пір}}=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{y}^2\cdot y=\frac{1}{6}{y}^3$

Обчислимо значення $y^3$:

Куб має $8$ вершин, отже, сумарний об’єм усіх восьми відрізаних пірамід:
$V_{\text{відр}}=8\cdot V_{\text{пір}}=8\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{a^3(10-7\sqrt{2})}{4}=\frac{a^3(10-7\sqrt{2})}{3}$

4. Обчислення шуканого об’єму многогранника

Об’єм початкового куба дорівнює $V_{\text{куба}}=a^3$.

Об’єм утвореного зрізаного многогранника дорівнює різниці об’єму куба та сумарного об’єму відрізаних пірамід:

Відповідь:
$\frac{7}{3}{a}^3(\sqrt{2}-1)$