Завдання № 69. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Розв’яжіть прямокутний трикутник $ABC$, у якого $\angle C=90^{\circ }$ (сторони трикутника в пунктах 3 і 4 знайдіть із точністю до сотих сантиметра) за двома відомими елементами:

1) $BC=9\text{ см}$, $\angle B=30^{\circ }$;

2) $AB=8\text{ см}$, $\angle A=45^{\circ }$;

3) $AC=12\text{ см}$, $\angle B=70^{\circ }$;

4) $AB=10\text{ см}$, $\angle B=35^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) гіпотенузою є сторона $AB$, а катетами — сторони $AC$ та $BC$. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$, тобто $\angle A+\angle B=90^{\circ }$.

1) Дано: $BC=9\text{ см}$, $\angle B=30^{\circ }$

1) Знаходимо невідомий гострий кут $\angle A$:

2) За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника:

3) За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника:

2) Дано: $AB=8\text{ см}$, $\angle A=45^{\circ }$

1) Знаходимо гострий кут $\angle B$:

Оскільки $\angle A=\angle B=45^{\circ }$, трикутник $ABC$ є рівнобедреним ($AC=BC$).

2) Знаходимо протилежний до кута $A$ катет $BC$:

3) Знаходимо прилеглий катет $AC$:

3) Дано: $AC=12\text{ см}$, $\angle B=70^{\circ }$

1) Знаходимо кут $\angle A$:

2) Знаходимо прилеглий катет $BC$ через тангенс кута $\angle B$:

Враховуючи, що $\mathrm{tg}70^{\circ }\approx 2,7475$:

3) Знаходимо гіпотенузу $AB$ через синус кута $\angle B$:

Враховуючи, що $\sin 70^{\circ }\approx 0,9397$:

4) Дано: $AB=10\text{ см}$, $\angle B=35^{\circ }$

1) Знаходимо кут $\angle A$:

2) Знаходимо протилежний до кута $B$ катет $AC$:

Враховуючи, що $\sin 35^{\circ }\approx 0,5736$:

3) Знаходимо прилеглий до кута $B$ катет $BC$:

Враховуючи, що $\cos 35^{\circ }\approx 0,8192$:

Відповідь:

1) $\angle A=60^{\circ }$, $AB=6\sqrt{3}\text{ см}$, $AC=3\sqrt{3}\text{ см}$;

2) $\angle B=45^{\circ }$, $AC=4\sqrt{2}\text{ см}$, $BC=4\sqrt{2}\text{ см}$;

3) $\angle A=20^{\circ }$, $BC\approx 4,37\text{ см}$, $AB\approx 12,77\text{ см}$;

4) $\angle A=55^{\circ }$, $AC\approx 5,74\text{ см}$, $BC\approx 8,19\text{ см}$.