Завдання № 68. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть відстань між серединами двох мимобіжних ребер куба, площа повної поверхні якого дорівнює $36{\text{ см}}^2$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження довжини ребра куба
Куб має $6$ однакових граней, кожна з яких є квадратом зі стороною $a$. Площа повної поверхні куба обчислюється за формулою:
$S=6\cdot a^2$

За умовою задачі площа повної поверхні дорівнює $36{\text{ см}}^2$:
$6\cdot a^2=36$
$a^2=\frac{36}{6}=6$
$a=\sqrt{6}\text{ см}$

2. Введення прямокутної системи координат у просторі
Нехай задано куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ з ребром $a=\sqrt{6}\text{ см}$.
Введемо просторову систему координат із початком у вершині $A(0;0;0)$:

• вісь $Ox$ спрямуємо вздовж променя $AB$;
• вісь $Oy$ спрямуємо вздовж променя $AD$;
• вісь $Oz$ спрямуємо вздовж променя $A{A}_1$.

Розглянемо два мимобіжні ребра куба, наприклад $AB$ та $D{D}_1$:

• Ребро $AB$ лежить на осі $Ox$. Координати його кінців: $A(0;0;0)$ і $B(a;0;0)$. Середина відрізка $AB$ — точка $M_1$ — має координати:
  $M_1\left(\frac{a}{2};0;0\right)$
• Ребро $D{D}_1$ паралельне осі $Oz$. Вершина $D$ лежить на осі $Oy$, тому її координати $D(0;a;0)$, а координати вершини $D_1$ дорівнюють $(0;a;a)$. Середина відрізка $D{D}_1$ — точка $M_2$ — має координати:
  $M_2\left(0;a;\frac{a}{2}\right)$

3. Обчислення відстані між точками $M_1$ та $M_2$
Відстань $d$ між двома точками в просторі визначається за формулою:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

Підставимо координати точок $M_1$ та $M_2$:

Підставимо відоме значення $a^2=6$:
$d=\sqrt{\frac{3\cdot 6}{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3\text{ см}$

Відповідь:
$3\text{ см}$