Завдання № 67. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Об’єм правильної восьмикутної призми дорівнює $8{\text{ м}}^3$, а її висота становить $h=2,2\text{ м}$. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження площі основи призми

Об’єм прямої призми дорівнює добутку площі її основи на висоту:
$V=S_{\text{осн}}\cdot h$

Звідси визначимо площу основи призми:
$S_{\text{осн}}=\frac{V}{h}=\frac{8}{2,2}=\frac{80}{22}=\frac{40}{11}{\text{ м}}^2$

2. Визначення сторони правильного восьмикутника

Основою правильної призми є правильний восьмикутник.
Площа правильного восьмикутника зі стороною $a$ обчислюється за формулою:
$S_{\text{осн}}=2a^2(1+\sqrt{2})$

Підставимо знайдене значення площі основи:
$2a^2(1+\sqrt{2})=\frac{40}{11}$

Поділимо обидві частини рівності на $2$:
$a^2(1+\sqrt{2})=\frac{20}{11}$

Виразимо $a^2$:
$a^2=\frac{20}{11(1+\sqrt{2})}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на $(\sqrt{2}-1)$:
$a^2=\frac{20(\sqrt{2}-1)}{11(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{20(\sqrt{2}-1)}{11(2-1)}=\frac{20(\sqrt{2}-1)}{11}$

Звідси сторона основи:
$a=\sqrt{\frac{20(\sqrt{2}-1)}{11}}\text{ м}$

3. Обчислення площі бічної поверхні призми

Бічна поверхня правильної призми складається з 8 однакових прямокутників зі сторонами $a$ та $h$:
$S_{\text{біч}}=P_{\text{осн}}\cdot h=8a\cdot h$

Підставимо значення $a$ та $h=2,2\text{ м}=\frac{11}{5}\text{ м}$:
$S_{\text{біч}}=8\cdot 2,2\cdot \sqrt{\frac{20(\sqrt{2}-1)}{11}}=17,6\cdot \sqrt{\frac{20(\sqrt{2}-1)}{11}}$

Внесемо частину множника під корінь для спрощення вигляду виразу:
$S_{\text{біч}}=16\cdot 1,1\cdot \sqrt{\frac{20(\sqrt{2}-1)}{11}}=16\cdot \sqrt{(1,1{)}^2\cdot \frac{20(\sqrt{2}-1)}{11}}=16\cdot \sqrt{\frac{1,21\cdot 20(\sqrt{2}-1)}{11}}=16\cdot \sqrt{0,11\cdot 20(\sqrt{2}-1)}=16\sqrt{2,2(\sqrt{2}-1)}{\text{ м}}^2$

Відповідь:
$16\sqrt{2,2(\sqrt{2}-1)}{\text{ м}}^2$ (або $\frac{35,2\sqrt{5(\sqrt{2}-1)}}{\sqrt{11}}{\text{ м}}^2\approx 16,23{\text{ м}}^2$)