Завдання № 67. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Площі двох квадратів відносяться як $9:4$, а сума їхніх периметрів дорівнює $80\text{ см}$. Знайдіть сторону кожного з квадратів.

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між площами та лінійними розмірами квадратів
Усі квадрати є подібними геометричними фігурами. Нехай сторона більшого квадрата дорівнює $a_1$, а меншого — $a_2$.

Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності $k^2$:
$\frac{S_1}{S_2}={\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^2=\frac{9}{4}$

Звідси коефіцієнт подібності (відношення відповідних лінійних розмірів — сторін або периметрів) дорівнює:
$k=\frac{a_1}{a_2}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$

Отже, сторони квадратів відносяться як $3:2$.

2. Визначення суми сторін квадратів
Периметр квадрата обчислюється за формулою $P=4\cdot a$.
За умовою задачі сума периметрів двох квадратів дорівнює $80\text{ см}$:
$P_1+P_2=80$
$4\cdot a_1+4\cdot a_2=80$

Поділимо обидві частини рівняння на $4$:
$a_1+a_2=20\text{ см}$

3. Обчислення довжини кожної сторони
Оскільки сторони відносяться як $a_1:a_2=3:2$, уведемо коефіцієнт пропорційності $x>0$. Тоді:
$a_1=3\cdot x\text{ см},a_2=2\cdot x\text{ см}$

Складемо та розв’яжемо лінійне рівняння:
$3\cdot x+2\cdot x=20$
$5\cdot x=20$
$x=\frac{20}{5}=4$

Обчислимо шукані сторони квадратів:
$a_1=3\cdot 4=12\text{ см}$
$a_2=2\cdot 4=8\text{ см}$

Відповідь:
$12\text{ см}$ і $8\text{ см}$.