Завдання № 66. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Основою прямої призми є паралелограм, один із кутів якого дорівнює $30^{\circ }$. Площа основи дорівнює $4{\text{ дм}}^2$. Площі двох бічних граней призми дорівнюють $6{\text{ дм}}^2$ і $12{\text{ дм}}^2$. Знайдіть об’єм призми.

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок сторін основи через її площу

Нехай сторони паралелограма, що лежить в основі призми, дорівнюють $a$ і $b$, а кут між ними становить $30^{\circ }$.

Площу паралелограма обчислюють за формулою добутку двох суміжних сторін на синус кута між ними:
$S_{\text{осн}}=a\cdot b\cdot \sin 30^{\circ }$

За умовою $S_{\text{осн}}=4{\text{ дм}}^2$. Оскільки $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}=0,5$, маємо:
$a\cdot b\cdot 0,5=4$
$a\cdot b=\frac{4}{0,5}=8$

2. Зв’язок сторін основи та висоти призми

У прямої призми бічні ребра перпендикулярні до площини основи, тому висота призми дорівнює довжині бічного ребра $H$. Бічні грані є прямокутниками зі сторонами $(a,H)$ та $(b,H)$.

Їхні площі відповідно дорівнюють:
$S_1=a\cdot H=6{\text{ дм}}^2$
$S_2=b\cdot H=12{\text{ дм}}^2$

Виразимо сторони $a$ і $b$ через висоту $H$:
$a=\frac{6}{H},b=\frac{12}{H}$

3. Знаходження висоти призми

Підставимо отримані вирази у формулу добутку сторін основи $a\cdot b=8$:
$\frac{6}{H}\cdot \frac{12}{H}=8$
$\frac{72}{H^2}=8$
$H^2=\frac{72}{8}$
$H^2=9$

Оскільки висота є довжиною відрізка, то $H>0$:
$H=3\text{ дм}$

4. Обчислення об’єму призми

Об’єм прямої призми дорівнює добутку площі її основи на висоту:
$V=S_{\text{осн}}\cdot H$
$V=4\cdot 3=12{\text{ дм}}^3$

Відповідь:
$12{\text{ дм}}^3$