Завдання № 66. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Менша діагональ одного правильного шестикутника дорівнює стороні другого. Знайдіть відношення площ цих шестикутників.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження довжини меншої діагоналі шестикутника

Усі правильні шестикутники є правильними многокутниками з рівними сторонами та кутами. Нехай сторона першого правильного шестикутника дорівнює $a_1$, а його площа — $S_1$.

Обчислимо величину внутрішнього кута правильного шестикутника за формулою:
$\alpha =\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ }}{6}=\frac{4\cdot 180^{\circ }}{6}=120^{\circ }$

Розглянемо трикутник $△ABC$, утворений двома суміжними сторонами $AB=BC=a_1$ та меншою діагоналлю $AC=d$. Кут між сторонами дорівнює $\angle ABC=120^{\circ }$.

За теоремою косинусів для $△ABC$:
$d^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC$

Оскільки $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-0,5=-\frac{1}{2}$, отримуємо:
$d=\sqrt{a_1^2+a_1^2-2\cdot a_1\cdot a_1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{2a_1^2+a_1^2}=\sqrt{3a_1^2}=a_1\sqrt{3}$

2. Визначення сторони другого шестикутника

За умовою, довжина меншої діагоналі першого шестикутника дорівнює стороні другого шестикутника $a_2$:
$a_2=d=a_1\sqrt{3}$

3. Знаходження відношення площ шестикутників

Будь-які два правильні однойменні многокутники є подібними між собою. Коефіцієнт подібності $k$ дорівнює відношенню відповідних сторін:
$k=\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_1}{a_1\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

За властивістю площ подібних фігур, відношення площ дорівнює квадрату коефіцієнта подібності:
$\frac{S_1}{S_2}=k^2={\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{1}{3}$

Якщо розглядати відношення більшого шестикутника до меншого, то:
$\frac{S_2}{S_1}={\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)}^2=\frac{3}{1}$

Відповідь: $1:3$ (або $3:1$).