Завдання № 66. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) знайдіть:

1) $AB$, якщо $AC=6\text{ см}$, $\cos A=\frac{2}{3}$;

2) $AC$, якщо $BC=8\text{ см}$, $\mathrm{tg}B=0,5$;

3) $BC$, якщо $AB=12\text{ см}$, $\angle A=60^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження гіпотенузи $AB$

За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника, косинус дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи:
$\cos A=\frac{AC}{AB}$

Звідси виразимо довжину гіпотенузи $AB$:
$AB=\frac{AC}{\cos A}$

Підставимо числові дані:
$AB=\frac{6}{\frac{2}{3}}=6\cdot \frac{3}{2}=9\text{ см}$

2. Знаходження катета $AC$

За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника, тангенс дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого:
$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{BC}$

Звідси знайдемо катет $AC$:
$AC=BC\cdot \mathrm{tg}B$

Підставимо відомі значення:
$AC=8\cdot 0,5=4\text{ см}$

3. Знаходження катета $BC$

За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника, синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи:
$\sin A=\frac{BC}{AB}$

Звідси виразимо протилежний катет $BC$:
$BC=AB\cdot \sin A$

Враховуючи, що $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, обчислимо довжину сторони $BC$:
$BC=12\cdot \sin 60^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ см}$

Відповідь:

1) $9\text{ см}$;

2) $4\text{ см}$;

3) $6\sqrt{3}\text{ см}$.