Завдання № 65. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні й дорівнюють $a$ , $b$ , $c$ . Знайдіть:

1) бічну поверхню піраміди;

2) об’єм піраміди;

3) площу основи;

4) висоту піраміди, проведену до основи.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано піраміду $S A B C$ із вершиною $S$ , бічні ребра якої попарно перпендикулярні: $S A ⊥ S B$ , $S B ⊥ S C$ , $S C ⊥ S A$ , а їхні довжини становлять $S A = a$ , $S B = b$ , $S C = c$ .

Основою піраміди є трикутник $A B C$ , а бічними гранями — прямокутні трикутники $S A B$ , $S B C$ та $S A C$ .

1. Знаходження площі бічної поверхні піраміди

Бічна поверхня піраміди складається із площ трьох прямокутних трикутників $△ S A B$ , $△ S B C$ та $△ S A C$ :

S_{△ S A B} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, S_{△ S B C} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c, S_{△ S A C} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c

Площа бічної поверхні дорівнює їхній сумі:

S_{біч} = S_{△ S A B} + S_{△ S B C} + S_{△ S A C} = \frac{1}{2} ab + \frac{1}{2} b c + \frac{1}{2} a c = \frac{1}{2} (ab + b c + a c)

2. Обчислення об’єму піраміди

Оскільки ребро $S C$ перпендикулярне до прямих $S A$ і $S B$ , то за ознакою перпендикулярності прямої та площини $S C ⊥ (S A B)$ .

Отже, якщо прийняти прямокутний $△ S A B$ за основу піраміди, то ребро $S C = c$ є її висотою. Об’єм піраміди дорівнює:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{△ S A B} \cdot S C = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} ab) \cdot c = \frac{1}{6} ab c

3. Знаходження площі основи піраміди

Основою піраміди є трикутник $A B C$ . Обчислимо його площу $S_{осн}$ геометричним способом:

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника $△ S A B$ гіпотенуза $A B = a^{2} + b^{2}$ .
Проведемо висоту $S K ⊥ A B$ у прямокутному $△ S A B$ . Її довжина дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу: $S K = \frac{a \cdot b}{a ^{2} + b ^{2}}$
Оскільки $S C ⊥ (S A B)$ , відрізок $S K$ є проекцією похилої $C K$ на площину $(S A B)$ . Оскільки $S K ⊥ A B$ , то за теоремою про три перпендикуляри $C K ⊥ A B$ , тобто $C K$ — висота трикутника $A B C$ .
3 прямокутного трикутника $△ C S K$ за теоремою Піфагора знайдемо висоту $C K$ : $C K = S C^{2} + S K^{2} = c^{2} + \frac{a ^{2} b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{a ^{2} c ^{2} + b ^{2} c ^{2} + a ^{2} b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}$
Знаходимо площу основи: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C K = \frac{1}{2} \cdot a^{2} + b^{2} \cdot \frac{a ^{2} b ^{2} + b ^{2} c ^{2} + a ^{2} c ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{1}{2} a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2}$

(Цей результат також безпосередньо випливає з теореми де Гуа: для прямокутного тетраедра квадрат площі грані основи дорівнює сумі квадратів площ бічних граней: $S_{осн}^{2} = S_{△ S A B}^{2} + S_{△ S B C}^{2} + S_{△ S A C}^{2}$ ).

4. Знаходження висоти піраміди

Позначимо через $H$ висоту піраміди, опущену з вершини $S$ на площину основи $A B C$ . За стандартною формулою об’єму:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H

Звідси виражаємо шукану висоту $H$ :

H = \frac{3 V}{S _{осн}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{6} ab c}{\frac{1}{2} a ^{2} b ^{2} + b ^{2} c ^{2} + a ^{2} c ^{2}} = \frac{\frac{1}{2} ab c}{\frac{1}{2} a ^{2} b ^{2} + b ^{2} c ^{2} + a ^{2} c ^{2}} = \frac{ab c}{a ^{2} b ^{2} + b ^{2} c ^{2} + a ^{2} c ^{2}}

Відповідь:

1) $\frac{1}{2} (ab + b c + a c)$ ;

2) $\frac{1}{6} ab c$ ;

3) $\frac{1}{2} a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2}$ ;

4) $\frac{ab c}{a ^{2} b ^{2} + b ^{2} c ^{2} + a ^{2} c ^{2}}$ .

Завдання № 65. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку