Завдання № 65. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює $16 см$ і утворює з прямою кут $3 0^{\circ}$ . Знайдіть довжину іншої похилої, якщо її проєкція на пряму дорівнює $6 см$ .

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель задачі

Нехай $P$ — дана точка, а пряма $A B$ — задана пряма.
Проведемо відрізок $P H ⊥ A B$ , де точка $H$ є основою перпендикуляра.

Тоді:

$P A$ та $P B$ — похилі, проведені з точки $P$ до прямої;
$H A$ та $H B$ — відповідно проєкції цих похилих на пряму;
за умовою задачі: $P A = 16 см$ , кут між похилою $P A$ та прямою дорівнює $∠ P A H = 3 0^{\circ}$ , а проєкція другої похилої $H B = 6 см$ .

2. Знаходження довжини перпендикуляра $P H$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ P H A$ ( $∠ P H A = 9 0^{\circ}$ ).

За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:

sin ∠ P A H = \frac{P H}{P A}

Звідси виразимо довжину перпендикуляра $P H$ :

P H = P A \cdot sin 3 0^{\circ} = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 (см)

(Також цей результат випливає з властивості прямокутного трикутника: катет, що лежить навпроти кута $3 0^{\circ}$ , дорівнює половині гіпотенузи).

3. Знаходження довжини похилої $P B$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ P H B$ ( $∠ P H B = 9 0^{\circ}$ ).

Катети цього трикутника відомі: $P H = 8 см$ та $H B = 6 см$ .
За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу $P B$ , яка є шуканою похилою:

P B = P H^{2} + H B^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10 (см)

Відповідь:
$10 см$

Завдання № 65. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку