Завдання № 64. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи існує шестикутна піраміда, у якої всі ребра рівні?

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз граней піраміди
Припустимо, що така шестикутна піраміда існує. Позначимо довжину кожного її ребра (як ребер основи, так і бічних ребер) через $a$, де $a>0$.

Оскільки кожна бічна грань піраміди утворена двома бічними ребрами та однією стороною основи, і всі вони дорівнюють $a$, то всі $6$ бічних граней є рівносторонніми трикутниками зі стороною $a$.

У рівносторонньому трикутнику всі внутрішні кути дорівнюють $60^{\circ }$. Отже, кут при вершині кожної бічної грані дорівнює $60^{\circ }$.

2. Сума плоских кутів при вершині
Навколо спільної вершини шестикутної піраміди сходяться $6$ бічних граней. Обчислимо суму плоских кутів при цій вершині:
$6\cdot 60^{\circ }=360^{\circ }$

За теоремою про плоскі кути опуклого многогранного кута, сума всіх плоских кутів повинна бути строго меншою від $360^{\circ }$. Якщо сума кутів дорівнює $360^{\circ }$, грані не можуть утворювати просторовий кут і суміщаються в одну площину.

3. Перевірка через висоту піраміди
Основою піраміди є правильний шестикутник зі стороною $a$. Радіус $R$ описаного навколо нього кола дорівнює довжині його сторони:
$R=OA=a$
де $O$ — центр основи, $A$ — одна з вершин основи.

Оскільки всі бічні ребра піраміди рівні ($SA=a$), основа висоти $SO$ проектується в центр описаного кола $O$. Розглянемо прямокутний трикутник $△SOA$. За теоремою Піфагора:
$S{O}^2=S{A}^2-O{A}^2$
$S{O}^2=a^2-a^2=0⟹SO=0$

Висота піраміди дорівнює $0$, що означає, що вершина $S$ збігається з центром основи $O$. Така просторова фігура «сплющується» в площину основи і не є пірамідою.

Відповідь:
Ні, не існує.