Завдання № 64. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Яку частину площі даного трикутника складає площа трикутника, що відтинається від даного його середньою лінією?

Покроковий розв’язок:

1. Означення та властивість середньої лінії
Нехай дано довільний трикутник $ABC$. Проведемо середню лінію $MN$, де точки $M$ та $N$ — відповідно середини сторін $AB$ та $BC$.

За означенням і властивістю середньої лінії трикутника:

• точка $M$ ділить сторону $AB$ навпіл, тому $BM=\frac{1}{2}AB$;
• середня лінія паралельна третій стороні: $MN\parallel AC$;
• довжина середньої лінії дорівнює половині цієї сторони: $MN=\frac{1}{2}AC$.

2. Доведення подібності утворених трикутників
Оскільки пряма $MN\parallel AC$, то:

• кути $\angle BMN$ та $\angle BAC$ рівні як відповідні при паралельних прямих $MN$ і $AC$ та січній $AB$;
• кут $\angle B$ є спільним для трикутників $MBN$ та $ABC$.

Отже, за двома кутами (перша ознака подібності) трикутник $MBN$ подібний до трикутника $ABC$:
$△MBN\sim △ABC$

Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню відповідних сторін:
$k=\frac{BM}{AB}=\frac{1}{2}$

3. Знаходження відношення площ
За теоремою про площі подібних фігур, відношення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату їхнього коефіцієнта подібності:
$\frac{S_{△MBN}}{S_{△ABC}}=k^2$

Підставимо значення коефіцієнта $k$:
$\frac{S_{△MBN}}{S_{△ABC}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

Таким чином:
$S_{△MBN}=\frac{1}{4}{S}_{△ABC}$

Площа відітнутого трикутника становить $\frac{1}{4}$ площі даного трикутника.

Відповідь:
$\frac{1}{4}$ (або чверть площі даного трикутника)