Завдання № 64. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $C(2;-1)$ і:

1) має кутовий коефіцієнт $-\frac{1}{3}$;

2) утворює з додатним напрямком осі абсцис кут $30^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом $k$, яка проходить через точку $C(x_0;y_0)$, має вигляд:
$y-y_0=k(x-x_0)$

За умовою задачі координатами даної точки є $x_0=2$, $y_0=-1$.

1. Складання рівняння прямої за відомим кутовим коефіцієнтом

Кутовий коефіцієнт прямої дорівнює $k=-\frac{1}{3}$.

Підставимо значення координат точки $C$ та коефіцієнта $k$ у формулу:
$y-(-1)=-\frac{1}{3}(x-2)$
$y+1=-\frac{1}{3}(x-2)$

Для спрощення та переведення до загального вигляду помножимо обидві частини рівняння на $3$:
$3(y+1)=-(x-2)$
$3y+3=-x+2$

Перенесемо всі доданки в ліву частину рівняння:
$x+3y+3-2=0$
$x+3y+1=0$

(Або у вигляді з кутовим коефіцієнтом: $y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$).

2. Складання рівняння прямої за кутом нахилу до осі абсцис

З геометричного змісту кутового коефіцієнта відомо, що кутовий коефіцієнт $k$ дорівнює тангенсу кута $\alpha$, який пряма утворює з додатним напрямком осі абсцис ($k=\mathrm{tg}\alpha$).

Оскільки $\alpha =30^{\circ }$, маємо:
$k=\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Підставимо координати точки $C(2;-1)$ і знайдений кутовий коефіцієнт $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$ у рівняння прямої:
$y-(-1)=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-2)$
$y+1=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-2)$

Помножимо обидві частини рівняння на $3$:
$3(y+1)=\sqrt{3}(x-2)$
$3y+3=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$

Перенесемо всі доданки в один бік для отримання загального рівняння прямої:
$\sqrt{3}x-3y-2\sqrt{3}-3=0$
$\sqrt{3}x-3y-(2\sqrt{3}+3)=0$

(Або у вигляді з кутовим коефіцієнтом: $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$).

Відповідь:

1) $x+3y+1=0$ (або $y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$);

2) $\sqrt{3}x-3y-(2\sqrt{3}+3)=0$ (або $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$).